初中数学八年级下因式分解Word文档格式.docx
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提公因式时应注意:
⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数为正;
⑵公因式的系数和字母应分别考虑:
①系数是各项系数的最大公约数;
②字母是各项共有的字母,并且各字母的指数取次数最低的。
例01.在下面因式分解中,正确的是()
A.
B.
C.
D.
例02.把分解因式的结果为。
例03.分解因式:
.
说明:
⑴观察题目结构特征⑵对于与的符号有下面的关系:
例04.解方程:
例05.不解方程组求:
的值.
类型二、公式法
1、利用平方差公式因式分解:
①条件:
两个二次幂的差的形式;
②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式;
③在用公式前,应将要分解的多项式表示成的形式,并弄清、分别表示什么。
例如:
分解因式:
(1);
(2);
(3)
2、利用完全平方公式因式分解:
①是关于某个字母(或式子)的二次三项式;
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式;
③中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数);
④使用前应根据题目结构特点,按“先两头,后中间”的步骤,把二次三项式整理成公式原型,弄清、分别表示的量。
2、利用立方和立方差公式因式分解:
典型例题:
例1用平方差公式分解因式:
(2)
因式分解中,多项式的第一项的符号一般不能为负;
分数系数一般化为整系数。
例2分解因式:
(2).
将公式法与提公因式法有机结合起来,先提公因式,再运用公式.
例3判断下列各式能否用完全平方公式分解因式,为什么?
(2);
(3);
(4).
可否用公式,就要看所给多项式是否具备公式的特点.
例4把下列各式分解因式:
⑴;
⑵⑶
使用完全平方公式时,要保证平方项前的符号为正,当平方项前的符号是负号时,先提出负号.
例5分解因式:
⑴.⑵
⑴分解因式时,首先考虑有无公因式可提,当有公因式时,先提再分解.
⑵分解因式必须进行彻底,直至每个因式都不能再分解为止.
例6分解因式:
⑶;
⑵;
⑶. ⑷
说明:
在运用完全平方公式的过程中,再次体现换元思想的应用,可见换元思想是重要而且常用思想方法,要真正理解,学会运用.
例7若是完全平方式,求的值.
根据完全平方公式特点求待定系数,熟练公式中的“、”便可自如求解.
例8已知,求的值.
将所求的代数式变形,使之成为的表达式,然后整体代入求值.
例9 已知,,求的值.
这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算,巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解,使之转化为关于与的式子,再整体代入求值.
例10证明:
四个连续自然数的积加1,一定是一个完全平方数.
可用字母表示出四个连续自然数,通过因式分解说明结果是完全平方数.
例11已知和满足方程组,求代数式的值。
类型三、分组分解法
1、条件:
当所给多项式有四项或四项以上时,应釆用分组分解法。
2、原则:
分组后能继续分解(即分组只是为实际分解创造条件,并没有直接达到分解的目的)。
3、方法:
按有公因式或可运用公式的方法合理分组,其具体步骤为:
①组内提公因式或运用公式;
②组间提公因式或运用公式。
分组分解法是因式分解的基本方法,体现了化整体为局部,又统揽全局的思想,一般分组方式不惟一,且灵活多变.
例1选择题:
对运用分组分解法分解因式,分组正确的是()
(A)(B)(C)(D)
本组题目用来判断分组是否适当.
例2因式分解:
(2)
(1)把有公因式的各项归为一组,这是正确分组的方法之一;
(2)分组的方法不唯一,而合理的选择分组方案,会使分解过程简单;
(3)分组时要用到添括号法则,注意在添加带“-”的括号时,括号内每项要变号;
例3分解因式:
⑶
把能应用公式的各项归为一组,这是正确分组的方法之一;
。
例4分解因式:
⑴⑵
根据“对应系数成比例”的原则合理分组,可提高分解的速度。
例5把下列各式分解因式:
(2);
(3).
对于项数较多的多项式,以“交叉项”为突破口,寻找“相应的平方项”进行分组,这使分组有了一定的针对性,省时提速.
(2)
本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行,为达到分解的目的,对此类型题,可采用先去括号,再重新分组来进行因式分解。
即“先破后立,不破不立”。
类型四、十字相乘法
题型一:
事实上:
题型二:
大家知道:
反过来,就得到:
例1分解因式:
⑵.⑶;
⑷.
本题属于型的二次三项式,可用规律公式来加以分解.
(5)(6)(7)
(8)(9)(10)
(11)(12)
(2).
⑴;
⑵.