高数公式与定义Word格式.docx
《高数公式与定义Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高数公式与定义Word格式.docx(29页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
无穷小的性质:
(1)有限个无穷小的和是无穷小.
(2)常数与无穷小的乘积是无穷小.
(3)有限个无穷小的乘积是无穷小.
(4)有界函数与无穷小的乘积是无穷小
等价无穷小:
时.
无穷小可以在使用,无论、还是
三、连续
1.连续条件:
自变量变化量趋于零函数值变化量也趋于零
2.间断点:
第一类,
左右极限都存在;
可去间断点,跳跃间断点
第二类
无穷间断点,振荡间断点
一切初等函数在定义区间内都连续。
闭区间上连续函数的性质:
零点定理:
方程根的存在性
有界性和最值定理
第二章导数与微分
一、相关概念
1、导数的两大定义式;
2、左右导数;
函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等
3、几何意义;
切线方程:
;
法线方程:
.
4、可导与连续的关系。
如果函数在点处可导,则在点处必连续,但反之不一定成立,即函数在点处连续,它在该点不一定可导.
可以看课本27页注释理解
5、16个基本导数公式,4个求导法则
二、六大类函数求导
1、复合函数求导;
2、隐函数求导;
求导两法1.方程两边对求导,求导时要把看作中间变量.
2.
3、参数方程所确定的函数求导;
4、幂指函数求导;
复合求导法
对数求导法
5、分段函数求导;
6、抽象函数求导。
三、微分
1、概念;
可微
可微必可导,可导必可微.
微分公式与导数公式基本相同,只是多了单位dx
2、复合函数微分法则
第三章微分中值定理与导数的应用
一、微分中值定理
拉格朗日和罗尔的共同条件:
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间内可导;
罗尔定理:
驻点(3)在区间端点处的函数值相等,即,
即两个值相等
那么在内至少有一点(),使得.
拉格朗日中值定理:
内至少有一点()
即必有一个值在某瞬间变化量为0(拉格朗日是罗尔定理的补充)
两个重要推论:
如函数在区间上导数恒为零,那么它在区间上是一个常数.
与在区间内的导数恒有则这两个函数在内至多相差一个常数
二、洛必达法则
需要的条件:
(1)当零或无穷时,函数及都趋于零;
(2)在点的某个去心邻域内及都存在且;
(3)存在(或为无穷大),
可应用两种类型
还有三种应用方法P46
三、单调性和凹凸性
单调性:
求单调区间;
(关键:
找驻点和不可导点)
求极值;
可导函数的极值点必定是它的驻点.但反过来,函数的驻点却不一定是极值点。
不可导点也可能是极值点;
定义域有限制时,极值也可能在边界上。
对应拐点是一个点(X,Y)
证明不等式;
证明方程根的唯一性。
极值的第一充分条件(就是判定左正右负来判定极大极小)
第二充分条件:
在处取得极大值
在处取得极小值
凹凸性:
(1)若在内,则在上的图形是凹的;
(2)若在内,则在上的图形是凸的.
凹凸区间;
拐点:
令,解出这方程在区间内的实根,并求出在区间内不存在的点
四、渐近线
1、水平渐近线
2、垂直渐近线
3.斜渐近线若(),,则就是函数的斜渐近线.(变量的趋向也可为或)
Ps:
即斜渐近线有两种
第四章不定积分
一、原函数与不定积分的概念;
函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间上的不定积分,记作
(13+2)
原函数;
被积函数;
积分变量;
x
不定积分的性质:
二、计算
1、(第一类换元法)凑微分法(12种见高数公式)
2、第二类换元法(常见是三角代换,三角代换的目的是化掉根式)
(1)当被积函数中含有,可令;
(2)当被积函数中含有,可令;
(3)当被积函数中含有,可令;
3、分部积分法
(一)4小题
(二)2小题?
?
(三)1小题
1.
2.
3.
即
注意事项:
如被积函数为幂函数和正(余)弦函数/指数函数,分部积分设幂函数为u目的:
降幂
如被积函数为幂函数和对数函数/反三角函数,则设后两者为u
目的:
化为x
简单根式的积分
第五章定积分
一、定积分的相关概念和性质
什么是定积分
a积分下限,b积分上限
叫做积分区间.
说明:
定积分的值只与被积函数及积分区间有关
推理:
在区间上连续,则在上一定可积;
若在上可积,则在区间上不一定连续,故函数在区间上连续是在上可积的充分非必要条件.
Ps:
在区间上有界,且只有有限个间断点,同样可积。
几何意义:
面积的代数和
区间上函数时,是由、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积.
,曲边梯形位于轴的下方,表示面积的负值.
既取得正值又取得负值时,此时定积分表示轴上方图形的面积减去轴下方面积所得之差.
比较性质:
定积分对于积分区间的可加性
定积分的中值定理
().(类似拉格朗日)
称为函数在区间上的平均值.
二、关于计算方面的内容
1、定积分的计算;
牛顿——莱布尼茨公式
定积分的还原法和分部积分法
定积分的换元法
设函数在区间上连续,函数满足条件:
(1),;
(2)在(或)上具有连续导数,且其值域,则有(原函数的定义域是新元的值域)
定积分的分部积分法:
(参照不定积分的分部积分法)
定积分的两个简便公式
1.若在上连续且为奇函数,则;
若在上连续且为偶函数,则
第二个看不懂+_+
2、积分上限的函数;
(1)变上限定积分;
并且设为上的一点,在区间上连续
由
变为()变dx为dt
(2)求导运算;
1.().
2.对于积分上限函数的复合函数,求导法则可按下述公式进行:
积分下限函数:
积分上下限均有函数:
定积分的性质见高数公式
3、广义积分(反常积分)(即在无穷上有确切值)
(1)无穷限的广义积分;
分为三种情况
函数在无穷区间//上的反常积分:
举例:
存确切值则收敛,无则发散
计算方法同上;
(2)无界函数的广义积分(瑕积分)?
无界间断点,瑕点?
4、用定积分求面积和体积
平面图形的面积:
型区域由y=f(x)与y=g(x)和两条x=?
组成
型区域由x=f(y)与x=g(y)与两条y=?
要求:
()或()
旋转体的体积:
1.绕x轴旋转的体积
2.绕y轴旋转的体积
相当于面积乘以高
第六章微分方程
定义:
未知函数,未知函
一般地,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,数的导数,自变量;
阶,
解:
如果函数满足一个微分方程,则称它是该微分方程的解
通解:
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同时
初始条件:
当自变量取某值时,要求未知函数及其导数取给定值,这种条件称为初始条件.
特解:
满足给定初始条件的解
二、四类方程
1、可分离变量的微分方程;
2、一阶线性微分方程;
1.一阶齐次线性:
通解:
2.一阶非齐次线性的
通解:
区别:
Q(X)是否为零
3、二阶常系数齐次线性微分方程
当时,方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。
定理1若、是齐次线性方程的两个解,则也是它的解,且当与线性无关时,是其通解.
定理2若为非齐次线性方程的某个特解,为对应的齐次线性方程的通解,则为非齐次线性方程的通解.
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
考查特征方程,设、为其两个特征根,则
1.不相等的实根(、为任意常数)
2.相等的实根
3.共轭复根
其中,,
4、二阶常系数非齐次线性。
。
这里只考虑这一种形式(、、为常数,为关于的次多项式).
定理1同上定理2
定理2:
定理1中的的形式一定为(求最终特解可能用到待定系数法),其中即为原非齐次方程中的,是与同次的多项式(一般不相等),中的是常数,且只能取三个数中的一个,按如下规则取值
当特征方程的根是:
非根,k=0;
单根,k=1;
二重根k=2.
(单根是只有一个,与其他跟都不相同的根,二重根是有两个根相同)
如:
x^2-1=0有两个单根x^2=0有一各二重根x^2(x^2-1)=0有一个二重根,两个单根)
第八章多元函数微分学
一、二元函数,三元函数
二元函数的定义域:
平面区域(平面点集),图形
空间曲面
三、求偏导数;
求全微分;
变量的对称性
四、二元隐函数求偏导数;
五、二元函数的极值。
第九章二重积分
面积元素,
积分区域:
平面闭区域
曲顶柱体的体积
二次积分,累次积分
交换积分次序
二、计算(直角坐标系中的计算)
极坐标系
第一十章无穷级数
一、无穷级数的定义,分类,
常数项无穷级数
函数项无穷级数:
幂级数
收敛,发散;
收敛级数三大性质(1,2,5);
三大级数:
调和级数,
等比级数(几何级数),
p-级数
二、正项级数审敛法
1、比较审敛法;
2、比较审敛法的极限形式;
3、比值审敛法;
阶乘
4、根值审敛法
三、交错级数(莱布尼茨定理)
四、绝对收敛,条件收敛
五、幂级数
1、相关概念;
收敛点,发散点
收敛域,发散域
收敛区间,收敛半径R
和函数
第七章向量代数与
空间解析几何
一、向量
1、相关概念:
大小,方向
模:
向量的大小称为向量的模,记为或
单位向量,零向量(向量即为空间中两点之差)
空间直角坐标系(三维)
坐标的两种表示方法:
或
正交,方向角,方向余弦
平行的充要条件:
1.向量与非零向量平行的充要条件是存在一个实数,使得
2.,,
3.或
垂直的充要条件:
或
2、向量的运算
1.线性运算:
加法,减法,数乘
2.数量积(点乘积)
3.向量积(叉乘积)
计算方法见高数公式
右手法则
二、空间曲面和曲线
三、平面及其方程
1.点法式方程
2.一般式方程(,,不同时为零)
3.截距式方程(,,均不为零)
4.两平面之间的关系(看法向量n1与n2)
设有两个平面和
,即,则两平面平行。
,即,则两平面垂直。
·
两平面夹角即两法向量夹角,,.
四、(空间)直线及其方程
点向式方程点,
一般式方程
参数方程点,
,
两条直线之间的关系:
,方向向量,
: