届一轮复习浙江专版第一章集合与常用逻辑用语 学案Word文档下载推荐.docx

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　　表示

关系　　

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的元素都是集合B的元素

x∈A⇒

x∈B

A⊆B或

B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A

AB或

BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，

B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集

任意的x，x∉∅，∅⊆A

∅

3．集合的基本运算

　表示

运算　

图形语言

交集

属于集合A且属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

并集

属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

补集

全集U中不属于集合A的元素组成的集合

{x|x∈U，且x∉A}

∁UA

4．集合问题中的几个基本结论

（1）集合A是其本身的子集，即A⊆A；

（2）子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；

（3）A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.

（4）A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B.

[小题体验]

1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0<

x<

5，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

答案：

D

2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

5

3．设集合A＝{x|（x＋1）（x－2）<

0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.

{x|0≤x<

2}

1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．

2．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；

二是集合与集合的包含关系．

3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

[小题纠偏]

1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg（x＋2）}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　依题意得A＝，∁UA＝；

B＝{x|x＋2>

0}＝{x|x>

－2}，因此（∁UA）∩B＝.

2．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．

由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．

8

3．已知集合A＝{0,x＋1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．

∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.

∴x＝－5或x＝1或x＝4.

若x＝1，则A＝{0,2，－4}，满足条件；

若x＝4，则A＝{0,5，－4}，满足条件；

若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件．

所以x＝1或x＝4或－5.

1或4或－5

[题组练透]

1．（易错题）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　B．6

C．8D．9

选D　集合B中元素有（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（4,1），（4,2），（4,4），共9个．

2．已知a>

0，b∈R，若＝{a－b,0，a2}，则a2＋b2的值为（　　）

A．2B．4

C．6D．8

选B　由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因为a>

0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.

3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

C．0D．0或

选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝，

所以a的值为0或.

4．（易错题）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.

－

[谨记通法]

与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题．

[典例引领]

1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有（　　）

A．8个　　　　　　　　B．4个

C．3个D．2个

选B　由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．

2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　）

A．3B．2

C．2或3D．0或2或3

选D　由题意可得，因为B⊆A，所以B＝{2}，{3}或∅；

若B＝{2}，则2∈B，所以2a－6＝0，解得a＝3；

若B＝{3}，则3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；

若B＝∅，则a＝0.所以满足条件的实数a的值为0或2或3.

[由题悟法]

集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

[即时应用]

1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为（　　）

A．32B．31

C．30D．29

选B　因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．

2．已知集合A＝{x|－1<

3}，B＝{x|－m<

m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．

当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>

0时，

∵A＝{x|－1<

3}．

当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，

∴∴0<

m≤1.

综上所述m的取值范围为（－∞，1]．

（－∞，1]

[锁定考向]

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；

有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．

常见的命题角度有：

（1）集合的运算；

（2）利用集合运算求参数；

（3）新定义集合问题．　　　

[题点全练]

角度一：

集合的运算

1．（2018·

宁波模拟）已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，则B＝（　　）

A．{2,4,6}　　　　　　B．{1,3,5}

C．{0,2,4,6}D．{x∈Z|0≤x≤6}

选C　因为U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0,1,2,3,4,5,6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，所以B＝{0,2,4,6}．

2．（2016·

浙江高考）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2,3]B．（－2,3]

C．[1,2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

选B　∵Q＝{x∈R|x2≥4}，

∴∁RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．

∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，

∴P∪（∁RQ）＝{x∈R|－2＜x≤3}＝（－2,3]．

角度二：

利用集合运算求参数

3．设集合A＝{x|－1≤x<

2}，B＝{x|x<

a，a∈R，a<

0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）B．[－1,0）

C．（－2,2）D．[－1，＋∞）

选A　因为A∩B≠∅，所以a>

－1，又因为a<

0，所以－1<

a<

0.

角度三：

新定义集合问题

4．（2015·

浙江高考）设A，B是有限集，定义：

d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的个数，

命题①：

对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>

0”的充分必要条件；

命题②：

对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）．　

A．命题①和命题②都成立

B．命题①和命题②都不成立

C．命题①成立，命题②不成立

D．命题①不成立，命题②成立

选A　命题①成立，若A≠B，则card（A∪B）＞card（A∩B），所以d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B）＞0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；

命题②成立，由Venn图，知card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），

d（A，C）＝card（A）＋card（C）－2card（A∩C），

d（B，C）＝card（B）＋card（C）－2card（B∩C），

∴d（A，B）＋d（B，C）－d（A，C）

＝card（A）＋card（B）－2card（A∩B）＋card（B）＋card（C）

－2card（B∩C）－[card（A）＋card（C）－2card（A∩C）]

＝2card（B）－2card（A∩B）－2card（B∩C）＋2card（A∩C）

＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（A∩B）＋card（B∩C）]

＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（（A∪C）∩B）＋card（A∩B∩C）]

＝[2card（B）－2card（（A∪C）∩B）]＋[2card（A∩C）－2card（A∩B∩C）]≥0，

∴d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）得证．

[通法在握]

解集合运算问题4个技巧

看元素构成

集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键

对集合化简

有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决

应用数形

常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图

创新性问题

以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决

[演练冲关]

台州模拟）若集合A＝{x|－1<

1}，B＝{x|y＝}，则A∪B＝（　　）

A．[0,1）B．（－1，＋∞）

C．（－1,1）∪[2，＋∞）D．∅

选C　因为x－2≥0，解得x≥2，所以B＝[2，＋∞），所以A∪B＝（－1,1）∪[2，＋∞）．

2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A．4B．2

C．0D．0或4

选A