高中数学第一章解三角形课时作业3三角形的面积及三角形中的几何计算新人教B版必修Word文档下载推荐.docx

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又S△ABC＝acsinB＝a，∴S△ABC＝或.

B

3．如图，在△ABC中，B＝45°

，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为（　　）

A．5B.

C．5D．5

在△ACD中，cosC＝＝＝.∴sinC＝.

在△ABC中，由正弦定理得

＝，∴AB＝＝＝5.

D

4．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为________．

S△ABC＝absinC＝15，∴sinC＝.

由正弦定理＝2R，∴c＝2R×

sinC＝3.

3

5．在△ABC中，求证：

acos2＋ccos2＝（a＋b＋c）．

证明：

左边＝a·

＋c·

＝＋acosC＋ccosA

＝＋

＝＋＝＝右边，∴等式成立．

B　组

（限时：

30分钟）

1．在△ABC中，A＝60°

，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

∵S△ABC＝bcsinA＝×

1×

c×

sin60°

＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos60°

＝1＋16－2×

4×

＝13.

∴a＝.

2．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝（　　）

A.B．2

C．4D．3

在△ABC中，sinC＝＝，则由S△ABC＝absinC，得×

3×

×

b＝4，∴b＝2.

3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°

，则BC边上的高等于（　　）

A.B.

在△ABC中，由余弦定理可知：

AC2＝AB2＋BC2－2AB·

BCcosB，

即7＝AB2＋4－2×

2×

AB×

整理得AB2－2AB－3＝0.

解得AB＝－1（舍去）或AB＝3.

故BC边上的高AD＝AB·

sinB＝3×

＝.

4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°

，△ABC的面积为，则b等于（　　）

A．1＋B.

C.D．2＋

由ac·

sin30°

＝，得ac＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos30°

＝（a＋c）2－2ac－ac＝4b2－12－6，∴b＝＋1.

A

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为（　　）

A．2＋2B.＋1

C．2－2D.－1

A＝π－（B＋C）＝π－＝，

由正弦定理得＝，

则a＝＝＝＋，

∴S△ABC＝absinC＝×

（＋）×

＝＋1.

6．在△ABC中，∠A＝60°

，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）

A.B．3

C.D．7

S＝×

AB·

ACsin60°

＝×

AC＝，所以AC＝1，所以由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·

ACcos60°

＝3，所以BC＝，选A.

7．在△ABC中，B＝60°

，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________．

画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·

BDcos60°

＝3，

∴AD＝.

8．在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC＝________.

由三角形的面积公式S＝AB·

BCsin＝，易求得AB＝1，由余弦定理得AC＝，再由三角形的面积公式S＝AC·

BCsinC＝，即可得出sinC＝.

9．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．

∵AD⊥AC，∴∠DAC＝.

∵sin∠BAC＝，∴sin＝，

∴cos∠BAD＝.

由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·

AD·

cos∠BAD＝（3）2＋32－2×

＝3.

∴BD＝.

10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

解：

（1）由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.

因为A是锐角，所以A＝.

（2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.

又b＋c＝8，所以bc＝.

由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.

11．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.

（1）求；

（2）若c2＝b2＋a2，求B.

（1）由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，

即sinB（sin2A＋cos2A）＝sinA.

故sinB＝sinA，所以＝.

（2）由余弦定理和c2＝b2＋a2，

得cosB＝.

由

（1）知b2＝2a2，故c2＝（2＋）a2.

可得cos2B＝，又cosB>

0，故cosB＝，所以B＝45°

12．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求△ABC的面积．

（1）由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4.

又∵△ABC的面积等于，∴absinC＝，得ab＝4.

联立方程组解得a＝2，b＝2.

（2）由题意得sin（B＋A）＋sin（B－A）＝4sinAcosA，

即sinBcosA＝2sinAcosA.

当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝.

当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.

∴△ABC的面积S＝absinC＝.

2019-2020年高中数学第一章解三角形课时作业4应用举例新人教B版必修

1．有一长为10m的斜坡，倾斜角为60°

，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°

，则坡底要延长的长度（单位：

m）是（　　）

A．5　　　　　　　　　　B．5

C．10D．10

如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠ACB＝60°

∴AB＝5，BC＝5，

在Rt△ABD中，∠ADB＝30°

∴BD＝15.∴CD＝BD－BC＝10.

2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是β，α（α<

β），则A点距离地面的高度AB等于（　　）

在△ACD中，∠DAC＝β－α，DC＝a，∠ADC＝α，由正弦定理得AC＝，

∴在Rt△ACB中，AB＝ACsinβ＝.

3．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°

，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为（　　）

C．2或D．3

如图，在△ABC中，∠ABC＝30°

，AB＝x，BC＝3，AC＝.

则由余弦定理得

BC·

cos30°

，即3＝x2＋9－6x×

∴x2－3x＋6＝0，

∴x＝或2.

4．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°

的视角，从B岛望C岛和A岛成75°

的视角，则B，C间的距离为________nmile.

如图，∠ACB＝180°

－（75°

＋60°

）＝45°

，∴BC＝·

＝5（nmile）．

5

5．如图，线圈AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α＝30°

，测得乙楼底部D的俯角β＝60°

，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．

32

1．如图，已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°

，灯塔B在观察站C的南偏东60°

，则灯塔A在灯塔B的（　　）位置．（　　）

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东10°

D．南偏西10°

由图可知，∠ACB＝180°

－（40°

）＝80°

又∵AC＝BC，

∴∠A＝∠CBA＝（180°

－80°

）＝50°

∵CE∥BD，

∴∠CBD＝∠BCE＝60°

∴∠ABD＝60°

－50°

＝10°

∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°

的位置．

2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点（点A，B与树根部在同一直线上），从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°

，45°

，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为（　　）

A．（30＋30）mB．（30＋15）m

C．（15＋30）mD．（15＋3）m

设树高为h，则由题意得h－h＝60，

∴h＝＝30（＋1）＝（30＋30）（m）．

3．一艘客船上午9：

30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°

，之后它以32nmile/h的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：

00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8nmile，则灯塔S在B处的（　　）

A．北偏东75°

B．东偏南75°

C．北偏东75°

或东偏南75°

D．以上方位都不对

根据题意画出示意图，如图，由题意可知

AB＝32×

＝16，

BS＝8，∠A＝30°

在△ABS中，由正弦定理得＝，

sinS＝＝＝，

∴S＝45°

或135°

，∴B＝105°

或15°

即灯塔S在B处的北偏东75°

4．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°

方向，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°

的方向航行3h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（　　）

A.（＋）nmile/h　

B.（－）nmile/h

C.（＋）nmile/h

D.（－）nmile/h

如图，设货轮的时速为v，则在△AMS中，∠AMS＝45°

，∠SAM＝105°

，∠ASM＝30°

，SM＝20，AM＝3v.

即v＝＝（－）（nmile/h）．

5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为（　　）

A．d1>

d2B．d1＝d2

C．d1<

d2D．不能确定大小

如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，如题意可知α＝β.

在△PBC中，＝，

在△PCD中，＝，

∵sinα＝sinβ，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴＝.

∵PB<

PD，∴d1<

d2.

6．如图，某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为3