无解
例题精讲：
【例1】在
中，a=15，b=10，A=60°，则
=（）
A.－
B.
C.－
D.
.
【答案】D
【解析】根据正弦定理
，可得
，解得
，
又因为
，则
，故B为锐角，所以
，
故D正确.
【课堂练习】
1.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；
若已知大角求小角，则只有一解
【例2】在△ABC中，已知a=
，b=
，B=45°，求A、C和c.
【解析】∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解.
由正弦定理得sinA=
=
=
，则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-（A+B）=75°，c=
=
=
=
.
②当A=120°时，C=180°-（A+B）=15°，c=
=
=
=
.
故在△ABC中，A=60°，C=75°，c=
或A=120°，C=15°，c=
.
【考点二：
余弦定理】
知识点：
余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：
，
，
；
形式二：
，
，
.
方法归纳：
1.已知两边b、c与其夹角A，由
，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.
2.已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.
例题精讲：
【例3】在
中，AB=3，AC=2，BC=
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由余弦定理得
所以
选Ｄ.
【课堂练习】
2.在
ABC中，已知
，
，
，求b及A；
【解析】∵
=
cos
=8，
∴
求
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：
∵cos
∴
解法二：
∵sin
又∵
＞
，
＜
∴
＜
，即
＜
＜
，
∴
【例4】设
内角
所对的边分别为
.已知
，
，
.
（Ⅰ）求
的周长；（Ⅱ）求
的值.
【解析】（Ⅰ）∵
，∴
，
∴
的周长为
.
（Ⅱ）∵
，∴
∴
∵
，∴
，故
为锐角，
∴
∴
.
【注】常用到的三角公式：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的关系如下：
【课堂练习】
3.设
的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3
+3
-3
=4
bc.
（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求
的值.
【解析】（Ⅰ）由余弦定理，得
，
又
，故
.
（Ⅱ）原式=
.
【考点三：
正余弦定理的综合应用】
知识点：
内角和定理：
在
中，
；
；
；
面积公式：
在三角形中大边对大角，反之亦然.
方法归纳：
一般考虑两个方向进行变形：
（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；
（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理
【例5】若△
的三个内角满足
，则△
（）
A.一定是锐角三角形.B.一定是直角三角形.
C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
【答案】C
【解析】由
及正弦定理得a：
b：
c=5：
11：
13
由余弦定理得
，所以角C为钝角
【课堂练习】
4.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
【解析】2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），
又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
5.在△ABC中，
、b、c分别表示内角A、B、C的对边，如果
，判断三角形的形状.
【解析】方法一：
已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin（A-B）］
∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA，
由正弦定理可知上式可化为：
sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA
∴sinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0
∴sin2A=sin2B，由0＜2A，2B＜2
，得2A=2B或2A=
-2B，即A=B或A=
-B，
∴△ABC为等腰或直角三角形.
方法二：
同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB，
由正、余弦定理，可得
，
即
，
即
∴a=b或a2+b2=c2，∴△ABC为等腰或直角三角形.
【例6】在△ABC中，已知
，
，则
的值为（）
A.
B.
C.
或
D.
【答案】A
【解析】在△ABC中，由
知角B为锐角
【课堂练习】
6.在△ABC中，
所对的边分别为
，且
，
（1）求
的值；
（2）若
，求
的最大值；
【解析】
（1）因为
，
故
（2）
，
又
，当且仅当
时，
，故
的最大值是
.
【例7】已知△ABC中，2
（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为
.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值.
【解析】
（1）由2
（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得2
（
－
）=（a－b）
.
又∵R=
，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC=
=
.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=
absinC=
×
ab=2
sinAsinB=2
sinAsin（120°－A）
=2
sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+
sin2A
=
sin2A－
cos2A+
=
sin（2A－30°）+
.
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=
.
【课堂练习】
7.已知向量
，其中A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边.
（1）求角C的大小；
（2）求
的取值范围.
【解析】
（1）由
得
由余弦定理得
，
，
.
（2）
，
.
，
.
，
，即
.
【考点四：
解三角形的实际应用】
1.解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路，然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，
2.解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.
【例8】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距
km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之间的距离.
【解析】如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，
∴AC=CD=
km.
在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.
∴BC=
=
.
△ABC中，由余弦定理，得AB2=
+
-2×
×
×cos75°=3+2+
-
=5，
∴AB=
（km）.∴A、B之间的距离为
km.
【例9】如图，甲船以每小时
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
处时，乙船位于甲船的北偏西
的方向
处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达
处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里，问乙船每小时航行多少海里?
【解析】如图所示，连结A1B2，
由已知A2B2=
，A1A2=
，∴A1A2=A2B2，
又∠A1A2B2=180°-120°=60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=A1A2=
.
由已知A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
=
+
-
·A1B2·cos45°=200.
∴B1B2=
.
因此，乙船的速度的大小为
×60=
（海里/小时）.
【课后练习】
基础训练（A类）
1.△ABC中，a＝
，b＝
，sinB＝
，则符合条
件的三角形有（ ）
A.1个 B.2个C.3个D.0个
2.已知
中，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
3.某人朝正东方向走
千米后，向右转
并走3千米，结果他离出发点恰好
千米，那么
的值为（）
A.
B.
C.
或
D.3
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=
，则角B的值为（）
A.
B.
C.
或
D.
或
5.在
中，若
，则
一定是（）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.在
中，若
，
，
，则a=.
7.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
，A+C=2B，则sinC=.
8.已知
的周长为
，且
.
（Ⅰ）求边
的长；（Ⅱ）若
的面积为
，求角
的度数.
9.在
中，角
、
、
所对应的边分别为
、
、
，且满足
.
（Ⅰ）求角
的值；
（Ⅱ）若
，
求
的值.
10.在
中，
分别为内角
的对边，且
.
（Ⅰ）求
；（Ⅱ）若
，
，求
.
【参考答案】
1.【答案】B
【解析】∵asi
nB＝
，∴asinB，∴符合条件的三角形有2个.
2.【答案】D
【解析】已知
中，
，
.
故选D.
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
【解析】∵
∴
或
.
6.【答案】1
7.【答案】1.
【解析】由A+C=2B
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