与质数、合数相关的的练习及讲解Word格式文档下载.doc

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　　因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。

例4连续九个自然数中至多有几个质数？

　　如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：

1～9中有4个质数2、3、5、7）。

　　如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。

　　综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

　　∵5=5，6=2×

3，7=7，14＝2×

7，15=3×

5，

　　这些数中质因数2、3、5、7各有2个，所以如把14（2×

7）放在第一组，那么7和6（2×

3）只能放在第二组，继而15（3×

5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。

　　这样14×

15=210=5×

6×

7。

　　这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例6有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560。

求这三个自然数。

　　先大概估计一下，30×

30×

30=27000，远小于42560。

40×

40＝64000，远大于42560。

因此，要求的三个自然数在30～40之间。

　　42560=×

7×

19＝×

（5×

7）×

（19×

2）＝32×

35×

38（合题意）

　　要求的三个自然数分别是32、35和38。

例7有3个自然数a、b、c。

已知a×

b=6，b×

c=15，a×

c＝10。

求a×

b×

c是多少？

　　∵6＝2×

3，15=3×

5，10＝2×

5。

　　（a×

b）×

（b×

c）×

（a×

c）=（2×

3）×

（3×

5）×

（2×

5）

　　∴×

×

=×

　　∴＝

　　a×

c=2×

5＝30

例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数。

求a的最小值与这个平方数。

　　∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

　　∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

　　∵1080×

a=×

a，

　　又∵1080=×

5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

　　∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×

　　∴1080×

a＝1080×

2×

5＝1080×

30＝32400。

a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

例9问360共有多少个约数？

　　360=×

　　为了求360有多少个约数，我们先来看×

5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、、，即得到×

5（360）的所有约数。

为了求×

5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、，即得到×

5的所有约数。

　　记5的约数个数为，

　　×

5的约数个数为，

5的约数个数为.由上面的分析可知：

　　=4×

，＝3×

，

　　显然=2（5只有1和5两个约数）。

　　因此＝4×

=4×

2=24。

　　所以360共有24个约数。

　　说明：

中的“4”即为“1、2、、”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝×

5中质因数2的个数加1；

＝3×

中的“3”即为“1、3、”中数的个数，也就是×

5中质因数3的个数加1；

而=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即×

5中质因数5的个数加1。

　　因此＝（3＋1）×

（2+1）×

（1+1）=24。

　　对于任何一个合数，用类似于对×

5=360的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

　　一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

习题：

1．在下面算式的方框内，各填入一个数字，使得□□□×

□=1995成立。

　根据题意，要使一个三位数与一个一位数的积等于1995，那么这两个数的积应与1995有相同的质因数。

　1995=3×

19

　用1995的质因数3、5、7分别作为一位数，可以写出三个满足条件的算式。

　665×

3,399×

5,285×

2．自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。

求a的最小值。

　根据题意，a与2376的积是一个平方数，由于平方数的每个质因数都是偶数个，所以可先把2376分解质因数，再根据a最小的要求，求得a的质因数，使a与2376的相同质因数配成对。

　2376=×

11，质因数2、3都有3个，质因数11有1个，要配对，至少还需2、3、11各1个。

　所以，a最小是2×

11=66。

3．用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。

　　根据题意可知，被除数1170与余数78之差1092应是除数与商之积，所以，可把1092分解质因数，再重新组合这些质因数，写成两数之积，其中大于78的两位数就是所求的。

　　1092=×

13=84×

13=91×

12

　　所求两位数为84或91。

4．小虎用2.16元买了一种小画片，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还可以多买3张。

问小虎买了多少张画片？

　　根据题意，画片的单价与画片的张数之积应等于216（分），那么它们乘积的质因数应与216相同。

可先把216分解质因数，写成两数相乘形式，再根据条件求解。

　　216=×

=8×

27=9×

24

　　显然，216分可买27张8分1张的画片，可买9分1张的画片24张，8分比9分便宜1分，27张比24张多3张，恰好符合条件。

所以，小虎买了24张画片。

5．求240的约数的个数。

　　∵240＝×

　　∴240的约数的个数是（4＋1）×

（1+1）×

（1＋1）=20，

　　∴240有20个约数。

6．有一个自然数，它有3个不同的质因数，而有16个约数。

其中一个质因数是两位数，它的数字之和是11，并要求这个质数尽可能大，问这个自然数最小是多少？

　　因为已知一个质因数的两位数，不妨设为ab，则a+b=11，所以ab只有可能等于29，47，83，又要求这个两位数尽可能大，故只能是83；

又因为这个自然数尽可能小，它还有3个不同的质因数，故另外二个质因数可取2和3：

设所求的自然数为N，N=。

因为（r+1）（p+1）（q+1）=16，要使N最小，即只要指数r、p、q尽可能小，但不能小于1。

故可得r=3，p=1，q=1，所以最小的N=×

83=1992。

7．把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？

　　首先假设可以分成五个质数之和（分成6个以上质数之和不可能）：

33是奇数，因此五个质数中不能有2（否则和是偶数），取最小连续五个奇质数3，5，7，11，13的和是39超过33。

所以分成五个是不可能的。

　　假设33可以分成四个质数之和，33是奇数，因此四个数中一定有一个是偶质数2，即其余三个的和是31，显然可以找出其余三个分别是：

3，5，23；

3，11，17；

7，11，13；

5，7，19三数乘积最大的是7×

11×

13＝1001假设33可分成三个质数和，只可能是

　　3，13，17；

3，11，19；

3，7，23；

5，11，17。

　　乘积均小于2×

13，33若分为两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62。

故应将33写成四个质数：

2，7，11，13的和。

8．分别很久的两位老朋友相遇了，其中一个说：

他有三个孩子，他们年龄的积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在房子的窗户数；

第二人说，他还不能确定这几个孩子的年龄，于是第一人又补充说他的第二、第三个孩子是双胞胎，第二人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄各是多少？

　　先把36分解质因数，36=2×

3，36按三个因数的所有可能的分解式为：

　　36=1×

1×

36=1×

18=1×

12=1×

4×

9=1×

6=2×

9=2×

6=3×

4

　　这8个式子各因数之和分别是38，21，16，14，13，13，11，10，其次房子的窗户数第二人是知道的，这意味着知道了年龄之和，但第二个人还不能确定孩子的年龄，可见至少有两组年龄和是一样的，它们是2，2，9和1，6，6，由此可知，年龄和和房子的窗户数都是13。

在以上两组中，1，6，6可以排除，因为两个年龄小的孩子是双胞胎，剩下来的是2，2，9，所以三个孩子的年龄分别为2岁，2岁，9岁。

他们的年龄分别为9岁，2岁，2岁。

9．5112的约数有多少个。

　　5112=2×

71=×

　　（3+1）×

（1+1）=24

10．在1～300之间，求出：

约数个数正好是15个的自然数。

　　首先看一下组成这数的质因子的情况是什么样子的。

　　15=1×

15=3×

5

　　根据约数的个数的公式，这个自然数中只含有两个不同的质因数，不妨设这两个质因数分别是A、B。

　　当15分解为1×

15=（0+1）×

（14+1），说明这个自然数可以写为×

=，即是14个相同质数的乘积，考虑到自然数的范围在1～300之间，设B=2，但是=16384＞300，超出范围，因此这种情况是不可能的。

　　当15分解为3×

5=（2+1）×

（4+1）时，即自然数可记为×

〈1〉当A=2,B=3时,×

=324＞300（超出）

〈2〉当A=3,B=2时,×

=144＜300（满足条件）

〈3〉当A=5,B=2时,×

=400＞300（超出）

　　由此可以得出，对于任何A＞3或B＞2的取法都不符合条件。

　　所以，在1～300之间，约数个数是15个的自然数只有144。

11．有一个自然数含有10个不同的约数，但质约数只有2和3。

那么，这个自然数最大是几？

　解答:

　　设这个自然数表示为×

（m,n是整数）

　　根据约数个数公式：

　　约数个数10=（m+1）×

（n+1）=1×

10=2×

　　这样，m，n，的取值只有四种可能：

　　即这个自然数有四种可能的形式：

×

×

其中前面两个不合条件应去掉。

　　比较×

和×

，显然最大的是×

=162。

12．在乘积1000×

999×

998×

…×

1中，末尾连续有多少个零？

　　不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手。

因为2×

5＝10，所以末尾的零只能由乘积中的质因数2与5相乘得到。

因此，只需计算一下，把乘积分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积的末尾就有多少个连续的零。