三角函数与平面向量专题Word文档下载推荐.docx

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（1）向量数量积的运算；

（2）求向量的模；

（3）求向量的夹角，如2013年浙江T17等.

要点归纳

1．三角函数的概念、基本关系式和诱导公式

这一类题型主要是选择题与填空题，解决问题的方法是熟知各个公式，且能熟练运用，要注意角与角的统一，角与角的线性关系。

2.y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0，ω>

0）的图像与解析式

解决这类问题在于熟知各图像，在利用图像求三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ（k∈Z），根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．

3.三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值

掌握三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断公式就能进行此类型的解决。

4.三角函数图像变换

本类题目主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．解决问题的一般步骤是：

（1）审条件

（2）审结论（3）建联系.

5.三角变换与求值

（1）三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：

找差异，化同名（同角），化简求值．

（2）解决条件求值应关注的三点：

a分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．b正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．c求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．

6.利用正弦、余弦定理解三角形

（1）“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；

（2）“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．

7．平面向量的概念及线性运算

（1）三角形法则和平行四边形法则的运用条件．

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线

8.平面向量的数量积

解决数量积问题要注意选择合适的计算公式，要注意向量共线与垂直的结论。

热点一三角函数的概念、基本关系式和诱导公式

[例1]　

（1）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为（　　）

A.　　　　　　　　　B.C.D.

（2）若3cos＋cos（π＋θ）＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．

[自主解答]　

（1）∵sin>

0，cos<

0，

∴α为第四象限角．

又tanα＝＝＝－，

∴α的最小正值为.

（2）∵3cos＋cos（π＋θ）＝0，∴3sinθ－cosθ＝0，从而tanθ＝.

∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝.

[答案]　

（1）C　

（2）

——————————————————（规律·

总结）——————————————

应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点

（1）当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．

（2）使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：

一个是函数名称，一个是函数值的符号．

相关练习

1．已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°

），且cosα＝－，则m的值为________．

解析：

由点P（－8m，－6sin30°

）在角α的终边上且cosα＝－，知角α的终边在第三象限，则m>

0，又cosα＝

＝－，所以m＝.

答案：

热点二y＝Asin（ωx＋φ）（A>

[例2]　

（1）（2013·

济南模拟）已知函数f（x）＝Msin（ωx＋φ）（M，ω，φ是常数，M>

0,0≤φ≤π）的部分图像如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（－1）＝（　　）

A．－2　　　　　　　　B．－1

C．2D．－1或2

（2）（2013·

海口模拟）将函数y＝sinωx（ω>

0）的图像向左平移个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为（　　）

A．y＝sinB．y＝sin

C．y＝sinD．y＝sin

[自主解答]　

（1）由图可知M＝2.因为A，B两点分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，设A（x1,2），B（x2，－2），因为|AB|＝5，所以＝5，解得|x2－x1|＝3.因为A，B两点的横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即＝3，T＝6，所以＝6，解得ω＝.因为f（0）＝1，所以2sinφ＝1，解得sinφ＝.因为0≤φ≤π，所以φ＝或φ＝.结合图像，经检验，φ＝不合题意，舍去，故φ＝.所以f（x）＝2sin.故f（－1）＝2sin＝2sin＝2.

（2）函数y＝sinωx（ω>

0）的图像向左平移个单位后对应的函数解析式为y＝sinω＝sin，又因为f＝－1，由图可得＋＝，解得ω＝2，所以平移后的图像对应的函数解析式为y＝sin.

[答案]　

（1）C　

（2）C

——————————————————规律·

总结——————————————

根据三角函数图像确定解析式应注意的问题

在利用图像求三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ（k∈Z），根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．

2.已知函数f（x）＝Acos（ωx＋θ）的图像如图所示，f＝－，则f＝（　　）

A．－B．－C.D.

选A　由图知，T＝2＝，所以f＝f＝f＝－.

热点三三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值

[例3]　（2013·

皖南八校联考）已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）（ω>

0）的图像关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为（　　）

A．2B．4C．6D．8

[自主解答]　由题意知ω·

＋φ＝k1π，ω·

＋φ＝k2π＋，其中k1，k2∈Z，两式相减可得ω＝4（k2－k1）＋2，又ω>

0，易知ω的最小值为2.

[答案]　A　　

[例4]　

（1）（2013·

沈阳模拟）函数f（x）＝Asin（ωx＋ωπ）（A>

0）的图像在上单调递增，则ω的最大值是（　　）

A.　　　　　　　　B.C．1D．2

（2）设a∈R，f（x）＝cosx（asinx－cosx）＋cos2满足f＝f（0），则函数f（x）在上的最大值和最小值分别为________，________.

[自主解答]　

（1）因为A>

0，所以f（x）＝Asin（ωx＋ωπ）的递增区间满足2kπ－≤ωx＋ωπ≤2kπ＋（k∈Z），即－π≤x≤－π（k∈Z），所以⊆（k∈Z），解得即ω≤1，所以ω的最大值为1.

（2）f（x）＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－.

由f＝f（0），得·

＋＝－1，解得a＝2.

因此f（x）＝sin2x－cos2x＝2sin，由x∈，可得2x－∈.

当x∈时，2x－∈，f（x）为增函数；

当x∈时，2x－∈，f（x）为减函数，

所以f（x）在上的最大值为f＝2.

又f＝，f＝，故f（x）在上的最小值为f＝.

[答案]　

（1）C　

（2）2　

1．奇偶性的三个规律

（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z），是偶函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；

（2）函数y＝Acos（ωx＋φ）是奇函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z），是偶函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；

（3）函数y＝Atan（ωx＋φ）是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z）．

2．对称性的三个规律

（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ（k∈Z）解得；

（2）函数y＝Acos（ωx＋φ）的图像的对称轴由ωx＋φ＝kπ（k∈Z）解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）解得；

（3）函数y＝Atan（ωx＋φ）的图像的对称中心由ωx＋φ＝（k∈Z）解得．

3．三角函数单调性的求法：

求形如y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））（A、ω、φ为常数，A≠0，ω>

0）的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz（或y＝Acosz），然后由复合函数的单调性求得．

4．三角函数周期性的求法：

函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin（ωx＋φ）|的周期为T＝.

5．三角函数值域的求法：

在求最值（或值域）时，一般要先确定函数的定义域，然后结合正弦函数性质可得函数f（x）的最值．

3．若函数y＝cos（ω∈N*）的一个对称中心是，则ω的最小值为（　　）

A．1B．2C．4D．8

选B　∵cos＝0，∴＋＝＋kπ（k∈Z），∴ω＝2＋6k，又ω∈N*，∴ω的最小值为2.

热点四三角函数图像变换

[例5]（2013·

新课标全国卷Ⅱ）函数y＝cos（2x＋φ）（－π≤φ<

π）的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.

[自主解答]y＝sin＝cos－＝cos.·

①

y＝cos（2x＋φ）向右平移个单位后得到y＝cos＝cos（2x－π＋φ）．②

由题意可知－π＋φ＝－＋2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z）．③

又因为φ∈[－π，π），所以φ＝.④

[答案]　

—————————————————规律·

解决函数图像变换问题的模型示意图如下：

4．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>

0，|φ|<

π）的图像如图所示，为了得到g（x）＝－Acosωx1．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>

π）的图像如图所示，为了得到g（x）＝－Acosωx的图像，可以将f（x）的图像（　　）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度

选B