届中考数学《第四部分第二讲第2课探究型问题》同步练习含答案含答案Word文档格式.docx

届中考数学《第四部分第二讲第2课探究型问题》同步练习含答案含答案Word文档格式.docx

《届中考数学《第四部分第二讲第2课探究型问题》同步练习含答案含答案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届中考数学《第四部分第二讲第2课探究型问题》同步练习含答案含答案Word文档格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故③正确；

∵OM＋ON＝OE＋ME＋OF－NF＝2OE＝定值，故②正确；

MN的长度是变化的，故④错误．故选B.

2．[2017·

株洲]如图2－2－2，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard，point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A.L.Crelle，1780～1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard，1845～1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：

已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°

，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝1，则EQ＋FQ的值为（　D　）

A．5B．4

C．3＋D．2＋

图2－2－2　　　第2题答图

【解析】如答图，在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°

，DE＝DF，

∠1＝∠2＝∠3，∵∠1＋∠QEF＝∠3＋∠DFQ＝45°

，∴∠QEF＝∠DFQ，∵∠2＝∠3，∴△DQF∽△FQE,∴＝＝＝，∵DQ＝1，∴FQ＝，EQ＝2，∴EQ＋FQ＝2＋.

二、填空题（每题6分，共12分）

图2－2－3

3．[2017·

绍兴]如图2－2－3，∠AOB＝45°

，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是__x＝0或x＝4－4或4＜x＜4___．

第3题答图①

【解析】分三种情况：

①如答图①，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；

②如答图②，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB

＝45°

，∴△MCO是等腰直角三角形，

∴MC＝OC＝4，∴OM＝4，当M与D重合时，即x＝OM－DM＝4－4时，同理可知：

点P恰好有三个；

第3题答图②

③如答图③，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，

此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为

腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，

以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时

第3题答图③

以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点，∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个．综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x＝0或x＝4－4或4＜x＜4.

4．如图2－2－4，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ.给出如下结论：

①DQ＝1；

②＝；

③S△PDQ＝；

④cos∠ADQ＝.其中正确结论是__①②④__（填序号）．

图2－2－4　　第4题答图

【解析】①如答图，连结OQ，OD，∵DP＝CD＝BO＝AB，且DP∥OB，∴四边形OBPD是平行四边形．∴∠AOD＝∠OBQ，∠DOQ＝∠OQB，∵OB＝OQ，∴∠OBQ＝∠OQB，∴∠AOD＝∠DOQ，∴△AOD≌△QOD（SAS），∴∠OQD＝∠DAO＝90°

，DQ＝AD＝1.∴①正确；

②如答图，延长DQ交BC于点E，过点Q作QF⊥CD，垂足为F，根据切线长定理，得QE＝BE，设QE＝x，则BE＝x，DE＝1＋x，CE＝1－x，在Rt△CDE中，（1＋x）2＝（1－x）2＋1，解得x＝，∴CE＝，∵△DQF∽△DEC，∴＝＝，得FQ＝，∵△PQF∽△PBC，∴＝＝，∴＝.∴②正确；

③S△PDQ＝DP·

QF＝×

×

＝，∴③错误；

④∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠DEC，

∴cos∠ADQ＝cos∠DEC＝＝＝，∴④正确．故答案为①②④.

三、解答题（共45分）

5．（15分）[2017·

连云港]问题呈现：

如图2－2－5①，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE＝DG.

求证：

2S四边形EFGH＝S矩形ABCD.（S表示面积）

图2－2－5①

实验探究：

某数学实验小组发现：

若图①中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E，G作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1.如图②，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：

2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1.

如图③，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH，S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由．

图2－2－5

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图④，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH＝11，HF＝，求EG的长．

图2－2－5④　　　　图2－2－5⑤

（2）如图⑤，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，H分别在边AB，AD上，BE＝1，DH＝2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且FG＝，连结EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

解：

问题呈现：

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠A＝90°

，

又∵AE＝DG，∴四边形AEGD是矩形，

∴S△HEG＝EG·

AE＝S矩形AEGD，

同理可得S△FEG＝S矩形BCGE.

∵S四边形EFGH＝S△HEG＋S△FEG，

∴2S四边形EFGH＝S矩形ABCD.

第5题答图①

由题意得，当将G点向点D靠近（DG＜AE）时，如答图①所示，

S△HEC1＝S矩形HAEC1，

S△EFB1＝S矩形EBFB1，

S△FGA1＝S矩形FCGA1，S△GHD1＝S矩形GDHD1，

∴S四边形EFGH＝S△HEC1＋S△EFB1＋S△FGA1＋S△GHD1－S矩形A1B1C1D1，

∴2S四边形EFGH＝S矩形HAEC1＋S矩形EBFB1＋S矩形FCGA1＋S矩形GDHD1－2S矩形A1B1C1D1，

即2S四边形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形A1B1C1D1.

第5题答图②

（1）如答图②所示，由“实验探究”的结论可知2S四边形EFGH

＝S矩形ABCD－S矩形A1B1C1D1，

∴S矩形A1B1C1D1＝S矩形ABCD－2S四边形EFGH＝25－2×

11＝3＝A1B1·

A1D1，

∵正方形面积是25，∴边长为5，

又∵A1D＝HF2－52＝29－25＝4，

∴A1D1＝2，A1B1＝，

∴EG2＝A1B＋52＝＋25＝，∴EG＝.

（2）四边形EFGH面积的最大值为.

6．（15分）[2016·

黑龙江]已知：

P是▱ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，O为AC的中点．

（1）如图2－2－6①，当点P与点O重合时，求证OE＝OF；

图2－2－6

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°

时，如图②、图③的位置，猜想线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况予以证明．

（1）证明：

∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°

在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF；

（2）图②中的结论为CF＝OE＋AE.

图③中的结论为CF＝OE－AE.

选图②中的结论，证明：

如答图①，延长EO交CF于点G.

∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，

在△EOA和△GOC中，

∴△EOA≌△GOC（ASA），∴EO＝GO，AE＝CG，

在Rt△EFG中，∵EO＝OG，∴OE＝OF＝GO，

∵∠OFE＝30°

，∴∠OFG＝90°

－30°

＝60°

∴△OFG是等边三角形，∴OF＝FG，∵OE＝OF，

∴OE＝FG，∵CF＝FG＋CG，∴CF＝OE＋AE.

①　　②

第6题答图

选图③的结论，证明：

如答图②，延长EO交FC的延长线于点G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO＝∠G，

在△AOE和△COG中，

∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OE＝OG，AE＝CG，

在Rt△EFG中，∵OE＝OG，

∴OE＝OF＝OG，∵∠OFE＝30°

∴∠OFG＝90°

∴△OFG是等边三角形，∴OF＝FG，

∵OE＝OF，∴OE＝FG，

∵CF＝FG－CG，∴CF＝OE－AE.

7．（15分）[2017·

成都]问题背景：

如图2－2－7①，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°

，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°

，于是＝＝；

图2－2－7①　图2－2－7②

如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°

，D，E，C三点在同一条直线上，连结BD.

①求证：

△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；

拓展延伸：

如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°

，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连结AE并延长交BM于点F，连结CE，CF.

①证明：

△CEF是等边三角形；

②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．

图2－2－7③

∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝∠120°

，∴AD＝AE，AB＝AC，

∵∠DAB＝∠DAE－∠BAE，

∠CAE＝∠BAC－∠BAE，

∴∠DAB＝∠CAE，∴△ADB≌△AEC；

②BD＋AD＝CD.

第7题答图

如答图所示，连结BE，作BG⊥AE，

∵点C，E关于BM对称，∴BM垂直平分CE，

∴FE＝FC，BE＝BC，∴△CEF和△BEC都是等腰三角形，

∴AB＝BC＝BE，又∵BG⊥AE，

∴∠ABG＝∠EBG，∠EBF＝∠CBF，

∴∠GBF＝∠EBG＋∠EBF＝∠ABC＝60°

∴∠GFB＝30°

，∴∠EFC＝60°

，∴△CEF是等边三角形；

②∵AE＝5，CE＝2，在等腰三角形ABE中，GE＝GA＝.

又∵EF＝2，∴GF＝GE＋EF＝，

在Rt△GBF中，∵∠GFB＝30°

，∴FG＝BG，

∴BF＝2×

＝3.

（15分