届一轮复习人教A版 集合 学案Word文档格式.docx

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能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

集合间基本关系

理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

在具体情境中，了解全集与空集的含义．

集合基本运算

理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

能使用Venn图表达集合的关系及运算

考点1：

集合的概念

集合的引入（说明为什么要学习集合）

塔罗牌中有一张牌叫巴比塔，是一个倒了的塔，这个塔源自《圣经·

旧约》，《圣经》上说，人类的祖先最初讲的是同一种语言．他们在两河流域定居下来，修起了城池．后来，他们的日子越过越好，决定修建一座可以通到天上去的高塔，这就是巴比塔．直到有一天，高高的塔顶已冲入云霄．上帝耶和华得知此事，立即从天国下凡视察．上帝一看，又惊又怒，认为这是人类虚荣心的象征．上帝心想，人们讲同样的语言，就能建起这样的巨塔，日后还有什么办不成的事情呢？

于是，上帝决定让人世间的语言发生混乱，使人们互相言语不通．

数学家希望建立一个所有学数学的人有一个能共同对话的平台，这个平台就是集合．

那到底什么叫集合呢？

1．⑴集合的含义：

一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．

如：

现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．

⑵一般情况下，集合用英文大写字母表示．元素用英文小写字母表示；

⑶不含任何元素的集合叫做空集，记作．

集合含义的理解

对于集合的含义，我们需要注意集合首先是一个整体，所有满足条件的对象都必须在这个集合中．

“能够确定”是指有明确的可界定的规则，每一个对象是不是在范围中都能得到客观判定．

理解这个要注意以下三点：

①界定的规则一定是一个客观的属性，不依赖主观的感觉；

如：

中国所有的比较老的人不能构成一个集合；

中国所有年龄在60岁以上的人可以构成一个集合；

这种类型的例子很多，如我们班同学中比较高的人不能构成一个集合，因为姚明与潘长江的标准会很不相同，但给身高一个标准就构成一个集合了，如高于160cm的人．

再如我们班比较帅的人，比较漂亮的人，这个因为有审美观的主观差异，还有情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成集合．

在数学上，由于数学本身的严格，这个东西会变得简单，如方程的根；

小于等于的实数都可以构成集合；

②这个整体如果客观存在，即使不知道也不影响确定性．

我们班头发根数最多的4个人．世界第五高的山峰；

存在，虽然你并不知道．但它们都能构成集合．

③方程的实数根能不能构成一个集合呢？

我们可以判定任意一个实数都不在其中，所以它可以构成一个集合，这个集合就是什么都没有的集合，叫做空集，用表示．

再如，小于3又大于3的集合．我们班既是男性又是女性的同都是空集．

下面可以构成集合的有_______．

①中国人口排在第8-12位的城市；

②到两定点的距离的和等于两定点间的距离的点；

③高一数学课本中的难题；

④方程的实数解；

正解：

①②④．

2．元素与集合的关系：

如果是集合中的元素，就说属于，记作；

如果不是集合中的元素，就说不属于，记作．

3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

或

<

教师备案>

常见数集写法的字母意义：

自然数是NaturalNumber（自然数）的首字母，即全体非负整数构成的集合；

习惯用或表示正整数集，其中的星是非零的意思；

整数集的是德文ahlen（数字）的首字母．

有理数集的是英语/德语Quotient（商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商．

实数是RealNumber（实数）的首字母．

在后面的学习中，会在均值不等式部分用表示正实数集，在复数中引入表示复数集之外，高中不会接触到其它数集的表示形式．

为什么要用一个德文首字母表示整数集呢？

使用作为整数集的标记，是因为19世纪德国数论很强很强，所以德国的某些数学家引入的记号后来就通行了，至于这个数学家是谁，说法不一，有人说是朗道，有人说是诺特（此人是迄今为止最牛的女数学家，没有之一）．

数学中的符号使用，就两个原则．一是优先：

谁先提出，得到认可，后面就跟着用．二是方便：

谁的符号更实用，更方便．就会得到大家认可，从而流行．例如数字，中国、印度、希腊都有自己的系统，但现在只用阿拉伯数字，就是它方便，而且它有0（汉字的零是后来从阿拉伯数字0抄来的）．

练习1：

用，填空．

①___；

②___；

③__；

④___；

⑤___；

⑥___；

___R；

答案：

；

．

4．元素的性质

①确定性：

集合中的元素是确定的，不能模棱两可．

②互异性：

集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个．

③无序性：

集合中的元素是无次序关系的．

确定性在讲集合的概念时就已经说明了．

互异性是指集合中的元素互不相同，这样给定一个集合，会有一些天然的避讳，有一些默认的事实存在，如由构成的集合中，一定满足．

因为这里没讲集合的表示法，所以元素的性质都需要结合一些实际中的问题进行讲解．

集合的互异性可以通过班上同学举例，如要从班上选出五个同学组队参加一个比赛，这里选出的五个人构成一个集合，这五个人必须是不同的五个人，必须满足互异性，把一个人重复指点五次并不能构成这个集合．

集合无序性是指集合中的元素没有顺序，同样还是上面选出的五个人，把他们的姓名按照姓氏笔画顺序排列，还是按照拼音字母顺序排列，还是按照体重数量排列，都是这五个人．这个集合并没有变化．

【例1】⑴若是一个集合中的两个元素，实数应满足什么条件？

⑵设，将对象，，，，，组成集合，则集合中元素最多时有（）

A．个B．个C．5个D．6个

⑶下列叙述中正确的个数是（）

①若，则；

②若，则；

③，若，则；

④，若，则．

A．0个B．1个C．2个D．3个

1【解析】⑴且；

⑵A

⑶C；

讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．

考点2：

集合的表示法——列举法与描述法

5．集合的表示法

⑴列举法：

把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，

并写在大括号“{}”内的表示集合的方法．

例如：

，．

【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为，自然数集可以表示成．

有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程的解集可以写成；

直线与直线的交点集合可以写成．

描述法引入

列举法非常简单直观，一个对象是否在集合中很容易判断，但凡是很简单的方法往往就会有一些问题与局限性，如果一个集合中元素太多，而规律性又不强，这时把所有的元素都列出来，就很难做到了：

如世界上所有高度在米以上的山峰，《红楼梦》中所有的人物，这两个集合用列举法表示非常困难；

而所有大于3的实数构成的集合用列举法就根本表示不出来了．另外，有些集合虽然可以确定，元素个数也不多，但元素是哪些却不容易得到，如班上头发最多的四位同学，这用列举法就很难表示．再比如方程（为参数）的解．遇到这样的集合，就需要一些新的表示方法．

⑵描述法（又称特征性质描述法）：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素．为的范围，有时也写为．

例如：

大于的所有整数用描述法表示为．

方程的实根用描述法表示为．

【注意】

①描述法给出了一个客观的标准，用表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．

，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：

孙悟空在这个集合中吗？

不在，他不是人；

猪八戒在吗？

不在，他也不是人．李世民在吗？

在；

天篷元帅在吗？

……

，说明集合描述的是实数，这个实数具有大于等于的特点．

若元素范围为，在不致发生误解时，也可以省略，直接写成．

但对于集合，则一定不能省略．

②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为．

，说明集合是点集，点满足，故集合中的点在抛物线上，即此集合表示抛物线上所有的点．

③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即与表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．

在教学用书中有这样的说明：

有些集合可以直接写出元素名称，并用花括号括起来表示这类元素的全体，如用表示所有的奇数组成的集合．当成是一种特殊的特征性质描述法．遇到这种写法可以向学生作个说明，但不推荐使用．为了方便起见，在后面的教师备案中，对一些非数学的概念，我们有时会采用这样的一种写法，如用{我们班同学}表示我们班所有同学表示的集合．

练习2：

将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：

①；

②；

③；

④；

⑤且．

①；

⑤．

练习3：

用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：

③．

①由所有的奇数构成的集合；

②由所有的偶数构成的集合；

③直线与抛物线的交点．

【例2】请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．

，，．

【解析】：

描述的是实数，满足；

：

描述的是实数，，；

描述的是点，表示抛物线上所有的点．

【例3】⑴已知集合，集合，用列举法表示

集合_________________．

⑵已知集合，集合，则用列举法表示集合________，集合_______________．

⑶集合，，，

又，，则有（）

A．B．

C．D．不属于，，中任意个

【解析】⑴．

⑵，；

⑶B

【备选】集合中有（）个元素．

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．无数

2【解析】B

列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．

考点3：

集合的表示法——图示法与区间表示法

⑶图示法：

用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图．

图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．

⑷区间表示法：

设，且，

定义

名称

符号

数轴表示

闭区间

开区间

左闭右开区间

左开右闭区间

一类特殊的区间

实数与都叫做相应区间的端点；

“”读作“正无穷大”，“”读作“