二次函数与一元二次方程及不等式解析Word下载.docx

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△=b2﹣4ac

△＞0

△=0

△＜0

二次函数

y=ax2+bx+c（a＞0）的图像

一元二次方程

ax2+bx+c=0（a＞0）的根

无实数根

一元二次不等式

ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集

＜或＞

（＜）

x为全体实数

一元二次不等

ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集

＜＜

（＜）

无解

1，例题：

选择题

①对任意实数t都有，那么（A）

A．B．

C．D．

②已知在区间（－∞，0）上单调递增，则a的取值范围是（B）

A．B．

C．且D．或

③已知函数y＝log（x2－6x＋7），则y（D）

A．有最大值没有最小值

B．有最小值没有最大值

C．有最大值也有最小值

D．没有最大值也没有最小值

填空题

①方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______．

解：

令，

则，其函数图象如下：

②关于x的方程的两个实数根分别为，则的最小值是_______________．

方程有实数根，

故∴或又

∴

∵或∴（a＝3时取等号）

应用题：

1.已知函数的图象与x轴无交点，求关于x的方程的根的范围．

∵的图象与x轴无交点，所以

解得：

－2.5＜a＜3

（1）当a∈（－2.5，1]时，方程化为x＝（a＋3）（2－a）＝－a2－a＋6∈（]

（2）当a∈（1，3）时，方程化为x＝（a＋3）a＝a2＋3a∈（4，18）

综上所述：

x∈（，18）

2.设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝（k2＋k＋1）x2－2（a＋k）2x＋（k2＋3ak＋b）的图象与x轴都交于点A（1，0）．

（1）求a、b的值；

（2）若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值．

⑴a＝1，b＝1

y＝（k2＋k＋1）x2－2（k＋1）2x＋（k2＋3k＋1）

⑵|AB|的最大值为2．

3.设实数a、b、c满足

a2－bc－8a＋7＝0…………①

b2＋c2＋bc－6a＋6＝0…………②

求a的取值范围．

1≤a≤9

4.设二次函数（a＞0），方程的两个根满足．

（1）．当x∈（0，）时，证明x＜＜；

（2）．设函数的图象关于直线对称，证明：

．

解

（2）．依题意知x0＝－．

因为x1，x2是方程f（x）－x＝0的根，即x1，x2是方程ax2＋（b－1）x＋c＝0的根，所以x1＋x2＝－

x0＝－

因为，所以．

5.若关于x的二次方程7x2－（p＋13）x＋p2－p－2＝0的两根满足

0＜＜1＜＜2求实数p的取值范围．

设f（x）＝7x2－（p＋13）x＋p2－p－2

根据题意得：

即

p∈（－2，－1）∪（3，4）．

6.已知二次函数y=x2－（2m+4）x+m2－4（x为自变量）的图像与y轴的交点在原点下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB满足3（OB－AO）=2AO·

OB，直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值4．

（1）求m的取值范围；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）确定直线y=kx+k的解析式．

解

（1）m2－4<

0，－2<

m<

2．

（2）二次函数的解析式为y=x2－2x－3．

（3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．

强化训练

一、填空题

1．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是__y=－2x2+2x+4_．

2．已知二次函数y=（a－1）x2+2ax+3a－2的图像最低点在x轴上，那么a=__2__，此时函数的解析式为__y=x2+4x+4__．

3．某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－x2，当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O的距离为___9__m．

图1图2

4．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－s2+s+．如图2，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是__5<

4+__．

5．若抛物线y=x2与直线y=x+m只有一个公共点，则m的值为__－__．

6．设抛物线y=x2+（2a+1）x+2a+的图像与x轴只有一个交点，则a18+323a－6的值为__5796__．

7．已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___6___．

8．（2008，安徽）图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像，在下列说法中：

①ab<

0；

②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3；

③a+b+c>

④当x>

1时，y随着x的增大而增大．

正确的说法有___①②④____．（请写出所有正确说法的序号）

图3图4图5

二、选择题

9．小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=－x2+3.5的一部分（图4），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（B）

A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m

10．当m在可以取值范围内取不同的值时，代数的最小值是（B）

A．0B．5C．3D．9

11．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示，则下列结论：

①a>

0，②c>

0，③b2－4ac>

0，其中正确的个数是（C）

A．0个B．1个C．2个D．3个

12．抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（C）

A．m>

B．m>

－C．m<

D．m<

－

13．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（C）

x

6.17

6.18

6.19

6.20

y=ax2+bx+c

－0.03

－0.01

0.02

0.04

A．6<

x<

6.17B．6.17<

6.18C．6.18<

6.19D．6.19<

14．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和

（－1，0），则S=a+b+c的值的变化范围是（A）

A．0<

S<

2B．0<

1C．1<

2D．－1<

1

15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值是零，那么代数式│a│+的化简结果是（B）

A．aB．－aC．D．0

16．（2006，甘肃兰州）已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（B）

A．y=2（x－2）2+2B．y=2（x+2）2－2

C．y=2（x－2）2－2D．y=2（x+2）2+2

三、解答题

17．（2006，吉林省）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状，大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．

设抛物线解析式为y=ax2+6，依题意得，B（10，0）．

∴a×

102+6=0，解得a=－0.06．即y=－0.06x2+6，

当y=4.5时，－0.06x2+6=4.5，解得x=±

5，

∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m．

18．（2008，安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=－x2+3x+1的一部分，如图所示．

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演是否成功？

请说明理由．

（1）y=－x2+3x+1=－（x－）2+．

∵－<

0，∴函数的最大值是．

答：

演员弹跳离地面的最大高度是m．

（2）当x=4时，y=－×

42+3×

4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．

19．（2006，沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：

如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：

yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；

信息二：

如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：

yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；

当投资4万元时，可获得3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元．请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．

解

（1）当x=5时，yA=2，2=5k，k=0.4．∴yA=0.4x，当x=2时，yB=2.4；

当x=4时，yB=3.2．∴解得

∴yB=－0.2x2+1.6x．

（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10－x）万元，获得利润W万元，

根据题意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4（10－x）=－0.2x2+1.2x+4．∴W=－0.2（x－3）2+5.8．

当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．

所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．

20．（2008，烟台）如图所示，抛物线L1：

y=－x2－2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于M点．抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．

（1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由．

（1）令y=0时，得－x2－2x+3=0，∴x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），

B（1，0）．∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，∴C（－1，0），D（3，0）．∴抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．即y=－x2+2x+3．

（2）存在．如图所示．

令x=0，得y=3，∴M（0，3）．∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的，∴点N（2，3）在L2上，且MN=2，M