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4．在矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（）.

24；

38；

46；

50.

5．设，均为正整数且≤20，则这样的有序数对共有（）个。

190200210220

6.从个相邻的正整数中选出三个数，使它们的和能被3整除，共有不同选法种数为（）.

；

；

.

7.的三边长分别为3，5，7，则能覆盖此三角形的最小圆半径为（）.

3.5；

7；

；

.

8.由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为（）.

4；

8；

12；

24.

9.8次射击，命中3次，其中恰有2次连续命中的情形共有（）种.

15；

30；

48；

60.

10.递推关系的特征方程是（）

三、计算题

1．求50!

中2的最高次幂.

2．求的展开式.

3．从1至2000的整数中，至少能被2，3，5中的两个数整除的整数有多少个？

4．一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得

（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？

（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？

5．解下列递推关系：

6．设集合，求在维向量，，中不许连续出现两个0的向量的取法数？

7．求50!

8．求的展开式.

9．设,是判断是否存在集合的分划,其中集合中各数字的和组成等差数列，并说明理由。

10．从1至1000的整数中，有多少个整数能被6整除，但不能被9也不能被15整除？

11．解递归关系式：

12．一个质点在水平方向上运动，每秒钟走过的距离等于它前一秒钟走过距离的两倍.设质点的初始位置为3，并设第一秒钟走了一个单位长的距离，求第r秒钟质点的位置.

四、证明题

1.证明：

（）

2．证明：

在任意给出的（≥2）个正整数中必有两个数，它们的差能被整除。

3．以表示由1，2，…，（≥2）作成的不含连续数对的全排列的个数，求证：

（1）

（2）

4．在平面的任意5个整数点（横、纵坐标为整数的点）中,一定存在2个点,使其连线的中点也是整数点.

《组合数学》练习题二

1、从的棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”型,如图问共有种不同的取法。

2、计算=。

3、设是一个正整数，令表示在中不允许出现两个连续数字的排列方法数，则我们有

=。

4、令,则的差分表中第行为。

5、不定方程有整数解的充分必要条件是。

6．中的系数是。

7．计算=。

8．设是一个正整数，令表示在中不允许出现两个连续数字的排列方法数，则我们有

9．从1至1000的整数中，有个整数能被5整除但不能被6整除。

10．令,则的差分表中第行为。

二、选择题

1、把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（）种。

45362820

2、已知是Fibonacci数列且，，则（）。

89110144288

3、已知，则当≥2时，（）。

C.

4、由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为：

（）

481224.

5、中的系数是：

1440–144001

6、从个相邻的正整数中选出三个数，使它们的和能被3整除，共有不同选法种数为（）。

7、仅由数字1,2,3组成的七位数中,相邻数字均不相同的七位数的个数是（）。

576504343192

8、已知，则当≥2时，（）。

9、设，均为正整数且≤20，则这样的有序数对共有（）个。

190200210220

10、不定方程的正整数解的个数是（）。

26283032

1、求的展开式中的系数?

展开后合并同类项，则一共有多少项？

2、求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。

3、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得：

4、在平面上,对任意自然数n,连接原点O与点用表示线段上除端点外的整点个数,试求

5、解递推关系：

6、现有人手中有3张一元,2张2元和3张5元的钱币,问该人都能买价值为多少的物品？

对每种价值的物品他有几种付款方法？

7、求的展开式。

8、设,求在平面区域内的整数点（坐标为整数的点）的个数。

9、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得

10、在平面上,对任意自然数n,连接原点O与点用表示线段上除端点外的整点个数,试求

11、解下列递推关系：

12、用多米诺骨牌覆盖棋盘，棋盘方格已经编号，求覆盖方法的总数。

1、证明：

2、证明：

在任意给出的1998个自然数，，…，中，必存在若干个数，它们的和能被1998整除。

1、3、设n,m,r是整数,而且,证明：

=,

4、证明：

在任意给出的1998个自然数，，…，中，必存在若干个数，它们的

和能被1998整除。

《组合数学》练习题一参考答案

一、填空：

1.

2.

3.0.

4.267

5..

6.420

7.7

8.

9.

10.267

二、选择：

1.1—10ABDDADABBC

三、计算：

1.解因为=25,=12,=6,=3,=1,=0,

所以,所求的最高次幂是2（50!

）=25+12+6+3+1=47.

2.解由我们最初观察的式子,有

再利用定理1,我们得到

.

所以,.

3.解：

设所求为，令，以，，分别表示中能被，，整除的整数所成之集，则

4.解：

记7个来宾为，，…，，则7个来宾的取帽子方法可看成是由，，…，作成的这样的全排列：

如果（1≤≤7）拿了的帽子，则把排在第位，于是

（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数，即等于1854。

（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于由，，…，作成的至少有一个元保位的全排列数，为

5.解：

特征方程为特征根为故

，

其中是待定常数.由初始条件得

解之得所以

6.=+.

7、解因为=25,=12,=6,=3,=1,=0,所以,所求的最高次幂是2（50!

8、解由我们最初观察的式子,有

9、假设存在满足条件的分划，则不仿令中各数字之和分别为

于是

即

显然此式为矛盾等式,故假设不成立.

10、解：

设所求为N，令，以A，B，C分别表示S中能被6，9，15整除的整数所成之集，则，由容斥原理得

因为6与9的最小公倍数为8，6与15的最小公倍数为30，6、9、15这3个数的最小公倍数为90，故

，，

从而

11、解：

特征方程为，特征根为，所以

其中是待定常数，由初始条件得

解之得，，，所以

12、解：

递推关系为

四、证明：

=

2.证明：

设所给的个正整数为，，…，。

令，，…，，则，对任一个不大于的正整数，令

且除以所得余数为，

则且，由鸽笼原理的简单形式，必有正整数（≤≤），使得≥2，设，是中的两个元，则它们除以所得的余数均为，于是能被整除。

3、证明：

（2）由

（1）有

所以

。

4、证明我们可以将平面上的整数点按坐标数的奇偶性分成4类:

型如（2k,2t）的点,型如（2k,2t+1）的点,型如（2k+1,2t）的点,型如（2k+1,2t+1）的点,其中k,t是整数.则由抽屉原理,5个整数点中一定有2个点的型式是相同的,即可设此2点为（）,（）并且它们的型式均为（2k+,2t+）的点,其中为0或1.于是,此2点连线的中点坐标（,）必是整数点坐标.

《组合数学》练习题二参考答案

1.1962.7.3.

4.0.5..6.-14407.

8.9.16710.0.

1—10DABBBDDBAB

三、计算

1.在多项式的展开式中的项的系数是==420.

因为在它的展开式中不同项（合并同类项后）的个数等于从5个不同元素中有重复地取出7个元素的方法数，所以不同项的个数为。

2.解：

设所求为N，令，以，分别表示中能被14和能被21整除的整数所成之集，则

3.解：

记7个来宾为，，…，，则7个来宾取帽子的方法可看成是由，，…，作成的全排列：

4.解线段的方程为.

如果n与互素,则不定方程不存在适合的整数解,即如果n与不互素,则n与只能有公因数3,即可以设.则通过解不定方程,有整数点位于线段之上,且中间仅有这二个整数点,即.所以

5.解：

特征方程为，特征根为，，所以，其中，是待定常数，由初始条件得

解之得，，所以（）

6.解令一元钱币对应的能买物品的形式幂级数为；

2元钱币对应的能买物品的形式幂级数为；

5元钱币对应的能买物品的形式幂级数为,则该人能买物品对应的形式幂级数为

所以,该人可以买价值分别为0,1,2,,21,22元的物品,并且付款的方法数

分别为0,1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,2,1,1.

7.解由我们最初观察的式子,有,

再利用定理1,我们得到,,.所以,.

8.令.

则,.于是由容斥原理有

==.

9.解：

10.解线段的方程为