6份高考数学文北师大版一轮复习高考大题规范练及答案Word格式.docx

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－4时，g′（x）<

0，故g（x）为减函数；

当－4<

x<

－1时，g′（x）>

0，故g（x）为增函数；

当－1<

0时，g′（x）<

当x>

0时，g′（x）>

0，故g（x）为增函数。

综上知g（x）在（－∞，－4）和（－1,0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，＋∞）内为增函数。

2．（2015·

北京卷）设函数f（x）＝－klnx，k>

0。

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）证明：

若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点。

解　

（1）由f（x）＝－klnx（k>

0）得

f′（x）＝x－＝。

由f′（x）＝0解得x＝。

f（x）与f′（x）在区间（0，＋∞）上的情况如下：

x

（0，）

（，＋∞）

f′（x）

－

＋

f（x）

所以，f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，＋∞），f（x）在x＝处取得极小值f（）＝。

由

（1）知，f（x）在区间（0，＋∞）上的最小值为f（）＝。

因为f（x）存在零点，所以≤0，从而k≥e。

当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0，

所以x＝是f（x）在区间（1，]上的唯一零点。

当k>

e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且f

（1）＝>

0，f（）＝<

0，

所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点。

综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点。

3．已知函数f（x）＝ax2＋x－xlnx。

（1）若a＝0，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f

（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围。

解　

（1）当a＝0时，f（x）＝x－xlnx，函数定义域为（0，＋∞）。

f′（x）＝－lnx，由－lnx＝0，得x＝1。

当x∈（0,1）时，f′（x）>

0，f（x）在（0,1）上是增函数；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<

0，f（x）在（1，＋∞）上是减函数。

所以函数f（x）的单调增区间是（0,1），单调减区间是（1，＋∞）。

（2）由f

（1）＝2，得a＋1＝2，∴a＝1，∴f（x）＝x2＋x－xlnx，

由f（x）≥bx2＋2x，得x2＋x－xlnx≥bx2＋2x，

又∵x>

0，∴b≤1－－恒成立。

令g（x）＝1－－，可得g′（x）＝，

∴g（x）在（0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，

∴g（x）min＝g

（1）＝0，

∴实数b的取值范围是（－∞，0]。

4．已知定义在正实数集上的函数f（x）＝x2＋2ax，g（x）＝3a2lnx＋b，其中a>

0，设两曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点，且在该点处的切线相同。

（1）用a表示b；

（2）求证：

f（x）≥g（x）（x>

0）。

解　

（1）设曲线y＝f（x）与y＝g（x）（x>

0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，

∵f′（x）＝x＋2a，g′（x）＝，

∴依题意得

即

由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a（舍去），

则b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna。

设F（x）＝f（x）－g（x）

＝x2＋2ax－3a2lnx－b（x>

0），

则F′（x）＝x＋2a－＝（x>

由F′（x）＝0得x＝a或x＝－3a（舍去）。

当x变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表：

（0，a）

a

（a，＋∞）

F′（x）

F（x）

极小值

结合

（1）可知函数F（x）在（0，＋∞）上的最小值是F（a）＝f（a）－g（a）＝0。

故当x>

0时，有f（x）－g（x）≥0，

即当x>

0时，f（x）≥g（x）。

5．（2015·

福建卷）已知函数f（x）＝lnx－。

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

1时，f（x）<

x－1；

（3）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>

1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）>

k（x－1）。

解　

（1）f′（x）＝－x＋1＝，x∈（0，＋∞）。

由f′（x）>

0得

解得0<

。

故f（x）的单调递增区间是。

令F（x）＝f（x）－（x－1），x∈（0，＋∞），

则有F′（x）＝。

当x∈（1，＋∞）时，F′（x）<

所以F（x）在[1，＋∞）上单调递减，

1时，F（x）<

F

（1）＝0，即当x>

x－1。

（3）由

（2）知，当k＝1时，不存在x0>

1满足题意。

1时，对于x>

1，有f（x）<

x－1<

k（x－1），则f（x）<

k（x－1），

从而不存在x0>

当k<

1时，令G（x）＝f（x）＝k（x－1），x∈（0，＋∞），

则有G′（x）＝－x＋1－k＝。

由G′（x）＝0得，－x2＋（1－k）x＋1＝0。

解得x1＝<

x2＝>

1。

当x∈（1，x2）时，G′（x）>

0，故G（x）在[1，x2）内单调递增。

从而当x∈（1，x2）时，G（x）>

G

（1）＝0，即f（x）>

综上，k的取值范围是（－∞，1）。

高考大题规范练

（二）　三角函数、解三角形

湖北卷）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）ω>

0，|φ|<

在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

π

2π

Asin（ωx＋φ）

5

－5

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将y＝f（x）图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g（x）图像，求y＝g（x）的图像离原点O最近的对称中心。

解　

（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－。

数据补全如下表：

且函数表达式为f（x）＝5sin。

（2）由

（1）知f（x）＝5sin，

因此g（x）＝5sin＝5sin2x＋。

因为y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z，

令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z，

即y＝g（x）图像的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为。

浙江卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

已知tan＝2。

（1）求的值；

（2）若B＝，a＝3，求△ABC的面积。

解　

（1）由tan＝2，得tanA＝，

所以＝＝。

（2）由tanA＝，A∈（0，π），得sinA＝，cosA＝。

又由a＝3，B＝及正弦定理＝，

得b＝3。

由sinC＝sin（A＋B）＝sin得sinC＝。

设△ABC的面积为S，则S＝absinC＝9。

3．（2015·

潍坊3月模拟）已知函数f（x）＝sin2ωx－－4sin2ωx＋2（ω>

0），其图像与x轴相邻两个交点的距离为。

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若将f（x）的图像向左平移m（m>

0）个长度单位得到函数g（x）的图像恰好经过点，求当m取得最小值时，g（x）在上的单调递增区间。

解　

（1）函数f（x）＝sin－4sin2ωx＋2＝sin2ωx－cos2ωx－4×

＋2＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin（ω>

根据函数f（x）的图像与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数f（x）的最小正周期为2×

＝，得ω＝1。

故函数f（x）＝sin。

（2）将f（x）的图像向左平移m（m>

0）个长度单位得到函数g（x）＝sin＝sin2x＋2m＋的图像，根据g（x）的图像恰好经过点，

可得sin＝0，

即sin＝0，

所以2m－＝kπ（k∈Z），m＝＋（k∈Z），

因为m>

0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为。

此时，g（x）＝sin。

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故函数g（x）的单调递增区间为kπ－，kπ－，k∈Z。

结合x∈，可得g（x）在上的单调递增区间为和。

4．（2015·

广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈。

（1）若m⊥n，求tanx的值；

（2）若m与n的夹角为，求x的值。

解　

（1）∵m＝，n＝（sinx，cosx），且m⊥n，

∴m·

n＝·

（sinx，cosx）

＝sinx－cosx＝sin＝0。

又x∈，∴x－∈。

∴x－＝0，即x＝。

∴tanx＝tan＝1。

（2）由

（1）和已知得cos＝

＝

＝sin＝，

又x－∈，∴x－＝，即x＝。

杭州一检）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

已知cos2A＋＝2cosA。

（1）求角A的大小；

（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围。

解　

（1）根据二倍角公式：

cos2x＝2cos2x－1，得

2cos2A＋＝2cosA，即4cos2A－4cosA＋1＝0，

所以（2cosA－1）2＝0，所以cosA＝。

因为0<

A<

π，所以A＝。

（2）根据正弦定理：

＝＝，得

b＝sinB，c＝sinC，

所以l＝1＋b＋c＝1＋（sinB＋sinC）。

因为A＝，所以B＋C＝，

所以l＝1＋＝1＋2sinB＋。

B<

，所以l∈（2,3]。

6．（2015·

山东卷）设f（x）＝sinxcosx－cos2x＋。

（1）求f（x）的单调区间；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。

若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值。

解　

（1）由题意知f（x）＝－

＝－＝sin2x－。

由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z。

所以f（x）的单调递增区间是

－＋kπ，＋kπ（k∈Z）；

单调递减区间是（k∈Z）。

（2）由f＝sinA－＝0，得sinA＝，

由题意知A为锐角，所以cosA＝。

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，

即bc≤2＋，且当b＝c时取等号。

因此bcsinA≤，

所以△ABC面积的最大值为。

高考大题规范练（三）　数列

重庆卷）已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝。

（1）求{an}的通项公式；

（2）设等比