八年级数学四边形知识点总结及练习.docx

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八年级数学四边形知识点总结及练习

八年级数学四边形知识点总结及练习

一.本章知识要求和结构

1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的内在关系.

（1）演变关系图：

2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.

定义

性质（边角对角线对称性）

判定（边角对角线）

面积

周长

3.

（1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.

如图1，=BC·AE=CD·BF

（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2，=

4.三角形中位线定理

（1）定义:

叫做三角形中位线（与中线的区分）;

（2）定理:

作用:

可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分.

（3）拓展:

三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成六个的小三角形，其面积为原三角形面积的;

（4）直角三角形的性质定理:

直角三角形斜边上的中线

5.正方形：

（1）对角线：

若正方形的边长为a，则对角线的长为;

（2）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等

（3）面积：

正方形的面积等于边长的平方;等于两条对角线的乘积的一半.

（4）周长相等的四边形中，正方形的面积最大.

7.几种特殊四边形的对角线

①矩形对角线交角为60（120）时,可得：

等边三角形和含30角直角三角形

②菱形有一个角为60时,可得：

③正方形中可得：

含30角的四个全等直角三角形四大四小等腰直角三角形

二．典型题型归纳

（一）概念题

1．中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则的周长为．

2．如图,在中，∠C=60º,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F．

（1）则∠EDF=；

（2）若AE=4，CF=7，

则周长=;

（3）若DE=3，DF=6，请作出对应图形，并求周长．

3．

（1）在平行四边形ABCD中，若∠C=∠B+∠D，则∠A=.

（2）已知在,∠A比∠B小20º，则∠C的度数是．

（3）在中，周长为100cm，AB-BC=20cm，则AB=,BC=.

（4）在中，周长为30cm，且AB：

BC=3：

2，则AB=cm.

5.（浙江义乌）在下列命题中，正确的是（　　）

A．一组对边平行的四边形是平行四边形　B．有一个角是直角的四边形是矩形

C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6.（甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是（）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形

7.（四川眉山）下列命题中的假命题是（）

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．一组邻边相等的矩形是正方形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

8.（四川成都）下列命题中，真命题是（　　）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形

Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

9.（浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（　　）

Ａ．Ｂ．AC⊥BDＣ．等边△ABDＤ．∠CAB＝∠CAD

（二）图形的性质和判定方法

10．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作//，作BM⊥于M，DN⊥于N，直线MB、ND分别交、于Q、P，试判断四边形PQMN的形状．

11．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH，求证：

四边形EFGH为正方形．

12．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，AE=AB，AB=2AD，求∠EBC的度数

（三）推理论证的进一步巩固

14．（恩施自治州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：

四边形BFDE是平行四边形.

15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是直线AB、CD的中点，AF、DE相交于点G，CE、BF交于点H．求证：

四边形GEHF是平行四边形.

16．平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE，,求证：

四边形AECF是平行四边形.

17．求证：

正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形．

18．已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，

（1）若BE=CF，如图1，求证：

AE⊥BF；

（2）若E、F分别是BC、CD的中点，如图2，求证：

GD=AD．

19．（浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别

有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，

，那么下列说法中错误的是（）

A．红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等

C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等

20.（盐城）已知的面积为4，对角线交于O，则S△AOB=．

21.若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

22.平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a的取值范围是（）

A.4

23.平行四边形中一边长为10cm，那么两条对角线的长度可以是（）

A．4cm和6cmB．6cm和8cmC．8cm和12cmD．20cm和30cm

24.（北京市）如图，已知．

（1）请你在边上分别取两点（的中点除外），连结，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

（2）请你根据使

（1）成立的相应条件，证明．

25．如图已知，过顶点A作∠B、∠C的平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：

ED//BC．

26．如图，已知BD、CE是⊿ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点．求证：

MN⊥DE．

27．

（1）如图27

（1），正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．

①若∠EAF=45º．求证：

EF=BE+DF．

②若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？

（2）如图27

（2），已知正方形ABCD的边长为1，BC、CD上各有一点E、F，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

（3）如图27（3），已知正方形ABCD，F为BC中点E为CD边上一点，且满足∠BAF=∠FAE．

求证：

AE=BC+CE．

（五）知识的联系与综合

28．已知的顶点A、B、C的坐标为（-2,3）,（-5,-4）,（1,-4），则D点坐标为

29.如图，已知的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（-2,3），则点C的坐标为（）

A、（-3,2）B、（-2,-3）C、（3,-2）D、（2,-3）

30．如图，两平面镜的夹角为，入射光线AO平行于入射到，两次反射后的光线O`B平行于，则角等于．

31．已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为．

32.如图,在直角坐标系中,将长方形OABC沿OB对折,使点A落在A1处,已知OA=,

AB=1,则点A1的坐标是（）

A.（）B.（）C.（）D.（）

（六）面积的问题：

各种四边形面积的求法和等积变换

33．如图，E为边CD上一点，的面积为S，

则△ABE的面积为（）

A、SB、SC、SD、

34．如图，在ABCD中，AD⊥BD，∠A=∠ABC，如果AD=2，

那么ABCD的周长是，面积是．

35．如图，在矩形ABCD中，过BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN和PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2（填“>”、“=”或“<”）

36．如图，在中，点P在BC上，PQ∥BD交CD与Q，则图中和△ABP面积相等的三角形有个，它们分别是:

．

37．如图，E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F．求证：

38．如图，点E、F分别在的边DC、CB上，且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足．求证：

DG=BH．

（七）运动变换的思想在本章中的应用．

39．（希望杯初二第二试）已知ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF的值．

40．在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD边上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=．

41．

（1）如图41

（1）

（2），已知⊿ABD,⊿BCE,⊿ACF是等边三角形，

求证：

四边形ADEF是平行四边形.

（2）如图41（3），已知⊿ABC,以AB、AC为边分别作等边三角形⊿ABD,⊿ACF，再以AD、AF为邻边作平行四边形ADEF，求证：

三角形BCE是等边三角形.

（3）如图41（4），已知⊿ABD,⊿BCE是等边三角形，A,F是CE，EB上一点，且CA=EB，求证：

四边形ADFC是平行四边形.

42、（浙江台州）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

43、如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点．

（1）以图中已标字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；

（2）若正方形的边长为，重叠部分（四边形）的面积为

，求旋转的角度．

44．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

（1）求证：

AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

45．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

46.（青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.

⑴求证：

△ABM≌△DCM;

⑵四边形MENF是什么图形？

请证明你的结论；

⑶若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？

并请说明理由.

47．（四川资阳）如图47

（1），已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

（1）求证：

BP=DP；

（2）如图47

（2），若四边形PECF绕点C旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？

若是，请证明之；若不是，请举出反例；

（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.

（八）函数的思想在本章中的运用

49．（泰州）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10.

（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；

（2）如图2，在OA′、OC′边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿