集合的解题技巧Word下载.docx

集合的解题技巧Word下载.docx

《集合的解题技巧Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合的解题技巧Word下载.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（2）集合中的元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性

（3）集合的表示方法有：

描述法、列举法、区间法、图示法

（4）集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“”或“”来表示．

（5）常用的数集：

自然数集N；

正整数集N*（或N＋）；

整数集Z；

有理数集Q；

实数集R.

2．集合之间的关系

（1）一般地，对于两个集合A，B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作；

若A⊆B，且A≠B，则，我们就说A是B的真子集．

（2）不含任何元素的集合叫做空集，记作，它是任何集合的子集，即∅⊆A．

3．集合的基本运算

（1）并集：

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；

（2）交集：

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；

（3）补集：

∁UA＝．

4．集合的运算性质

（1）A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；

（2）A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；

（3）A⊆B，B⊆C，则A⊆C；

（4）∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB，A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U（∁UA）＝A；

（5）A⊆B，B⊆A，则A＝B.

三．典例分析及变式训练

（一）元素与集合，集合与集合关系

例1.已知,则

【答案】A

【解析】，

练习1【广西百色市高三年级优质试题届摸底调研考试】已知集合，，则（）

A．B．C．D．

【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出两集合的交集即可．

【解析】由A中y=log2（x+1），得到x+1＞0，即x＞-1，∴A=（-1，+∞），

由B中不等式变形得：

（x﹣3）（x+2）≤0且x

解得：

﹣2≤x<

3，又，，则A∩B=，

故选：

A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

练习2．【湖南省长郡中学优质试题届高三第三次调研】已知集合，集合，全集为U＝R，则为

【答案】D

【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.

【详解】∵，

∴

又

D

【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；

在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；

集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

（二）集合中元素重复陷阱

例2.【华南师范大学附中优质试题-优质试题测试题】．设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项.

【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，

此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，

故A、C、D错误,故选B

【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性.

练习1.是实数，集合，，若，求.

【答案】

【点评】：

对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.

练习2.【上海市优质试题-优质试题期中考试】如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

【答案】C

【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．

【解析】图中的阴影部分是：

M∩P的子集，

不属于集合S，属于集合S的补集

即是CIS的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁IS

C．

【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．

（三）隐含条件陷阱

例3.集合，则集合与集合之间的关系（）

A.B.C.D.

【解析】设，则，说明集合A的元素一定是集合B的元素，则，选A.

练习1已知集合，则（）

A.B.C.D.

【解析】，，则，选B.

（2）由题意得函数在区间上单调递减，

∴，

∴，∴．

∵，∴，

∴，解得，∴实数的取值范围是．

【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．

练习1.设集合，，

若，求实数a的取值范围；

若，求实数a的取值范围．

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；

（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．

【解析】由题意得，

；

（1）∵，

∴，解得，

又，∴，∴实数的取值范围为．

（2）由题意得，

∵，

∴，解得．∴实数的取值范围为．

【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．

（六）子集中忽视空集问题

例6【云南省优质试题-优质试题学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）

【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．

【解析】∵集合

若，即时，满足条件；

若，则.

∵

∴或∴或

综上，或或.

故选C.

【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．

练习1.已知集合，．

（1）若，求;

（2）若，求实数的取值范围．

（1）

（2）或

【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点

（七）新定义问题

例7．【清华附属中优质试题-优质试题学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.

【答案】8

【分析】根据条件列举，即得结果.

【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：

A=，B＝｛1，2｝；

A=｛1｝，B＝｛2｝；

A=｛1｝，B＝｛1，2｝；

A=｛2｝，B＝｛1｝；

A=｛2｝，B＝｛1，2｝；

A=｛1，2｝，B＝；

A=｛1，2｝，B＝｛1｝；

A=｛1，2｝，B＝｛2｝；

共8个.

【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.

练习1．【华东师范大学附中优质试题届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：

M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：

如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____

【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

【解析】集合的所有非空子集的乘积之和为函数展开式中所有项数之和

令，

故答案为

【点评】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题。

练习2.对于集合M，定义函数fM（x）＝对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA（x）·

fB（x）＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B的结果为（　　）

A．{1,6,10,12}B．{2,4,8}

C．{2,8,10,12}D．{12,46}

【分析】根据fA（x）·

fB（x）＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}，即可求解.

【解析】要使fA（x）·

fB（x）＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1,6,10,12}，所以A△B＝{1,6,10,12}．

【点评】本题主要考查了集合的元素、集合的并集，集合描述法的理解，属于中档题.

（八）任意、存在问题中的最值问题.

例8.【辽宁省实验中学优质试题-优质试题学年试题】已知函数的定义域为，函数的值域为，

（1）求集合、，并求；

（2）若＝，且，求实数的取值范围.

（1）A＝，B＝，＝

（2）

【分析】⑴利用被开方数非负性，求出，利用指数函数的单调性求出，再求、的交集即可

⑵若，且，即可得到，解出即可求得答案

【点评】本题主要考查了集合运算，结合题意得到关于实数的不等式，然后求解，较为基础。

练习1.已知集合，.

（1）求；

（2）若，求实数m的取值范围．

（1）

（2）

（1）求出不等式的解后可得．

（2）因为，故对任意的恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．

【解析】

（1）由得，故，所以．

（2）由题知，当时，恒成立，

即：

当时，恒成立．

在区间上的值域为，

所以，即实数m的取值范围是．

【点评】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．

练习2．已知集合，集合.

（Ⅰ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

（Ⅰ）或;

（Ⅱ）

（1）先求出M、N、CRN，结合条件，得到不等式，解出即可；

（2）问题转化为集合N集合M，得到不等式，解出即可．

【解析】，

（Ⅰ）依题意，

∴或

∴或

（Ⅱ）依题意，即∴∴

【点评】本题考查了元素和集合的关系，集合和集合的关系，考查充分必要条件，是一道基础题．

练习3．已知集合，，其中.

（1）当时，求集合，；

（2）若，求实数的取值范围.

（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，

（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数的取值范围.

【点评】防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.

（九）集合的运算问题

例9.【上海市优质试题-优质试题学年期中考试】设数集由实数构成，且满足：

若（且），则.

（1）若，试证明中还有另外两个元素；

（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；

（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个