圆锥曲线的相关结论192条.docx

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圆锥曲线的相关结论192条

结论1：

过圆

上任意点

作圆

的两条切线，则两条切线垂直．

结论2：

过圆

上任意点

作椭圆

（

）的两条切线，则两条切线垂直．

结论3：

过圆

（

）上任意点

作双曲线

的两条切线，则两条切线垂直．

结论4：

过圆

上任意不同两点

，

作圆的切线，如果切线垂直且相交于

，则动点

的轨迹为圆：

．

结论5：

过椭圆

（

）上任意不同两点

，

作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于

，则动点

的轨迹为圆

．

结论6：

过双曲线

（

）上任意不同两点

，

作双曲线的切线，如果切线垂直且相交于

，则动点

的轨迹为圆

．

结论7：

点

（

，

）在椭圆

（

）上，过点

作椭圆的切线方程为

．

结论8：

点

（

，

）在椭圆

（

）外，过点

作椭圆的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线方程为

．

结论8：

（补充）点

（

，

）在椭圆

（

）内，过点

作椭圆的弦

（不过椭圆中心），分别过

作椭圆的切线，则两条切线的交点

的轨迹方程为直线：

．

结论9：

点

（

，

）在双曲线

（

）上，过点

作双曲线的切线方程为

．

结论10：

点

（

，

）在双曲线

（

）外，过点

作双曲线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线方程为

．

结论10：

（补充）点

（

，

）在双曲线

（

）内，过点

作双曲线的弦

（不过双曲线中心），分别过

作双曲线的切线，则两条切线的交点

的轨迹方程为直线：

．

结论11：

点

（

，

）在抛物线

（

）上，过点

作抛物线的切线方程为

．

结论12：

点

（

，

）在抛物线

（

）外，过点

作抛物线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线方程为

．

结论12：

（补充）点

（

，

）在抛物线

（

）内，过点

作抛物线的弦

，分别过

作抛物线的切线，则两条切线的交点

的轨迹方程为直线：

．

结论13：

点

（

，

）在椭圆

上，过点

作椭圆的切线方程为

．

结论14：

点

（

，

）在双曲线

上，过点

作双曲线的切线方程为

．

结论15：

点

（

，

）在抛物线

上，过点

作抛物线的切线方程为

．

结论16：

点

（

，

）在椭圆

外，过点

作椭圆的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线方程为

．

结论17：

点

（

，

）在双曲线

外，过点

作双曲线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线方程为

．

结论18：

点

（

，

）在抛物线

外，过点

作抛物线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线方程为

．

结论16：

（补充）点

（

，

）在椭圆

内，过点

作椭圆的弦

（不过椭圆中心），分别过

作椭圆的切线，则两条切线的交点

的轨迹方程为直线：

．

结论17：

（补充）点

（

，

）在双曲线

内，过点

作双曲线的弦

（不过双曲线中心），分别过

作双曲线的切线，则两条切线的交点

的轨迹方程为直线：

．

结论18：

（补充）点

（

，

）在抛物线

内，过点

作抛物线的弦

，分别过

作抛物线的切线，则两条切线的交点

的轨迹方程为直线：

．

结论19：

过椭圆准线上一点

作椭圆的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线必过相应的焦点

，且

垂直切点弦

．

结论20：

过双曲线准线上一点

作双曲线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线必过相应的焦点

，且

垂直切点弦

．

结论21：

过抛物线准线上一点

作抛物线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线必过焦点

，且

垂直切点弦

．

结论22:

为椭圆的焦点弦，则过

，

的切线的交点

必在相应的准线上．

结论23:

为双曲线的焦点弦，则过

，

的切线的交点

必在相应的准线上．

结论24:

为抛物线的焦点弦，则过

，

的切线的交点

必在准线上．

结论25:

点

是椭圆准线与长轴的交点，过点

作椭圆的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

就是通径．

结论26:

点

是双曲线准线与实轴的交点，过点

作双曲线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

就是通径．

结论27:

为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点

作抛物线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

就是其通径．

结论28：

过抛物线

（

）的对称轴上任意一点

（

）作抛物线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

所在的直线必过点

．

结论29：

过椭圆

（

）的对称轴上任意一点

作椭圆的两条切线，切点分别为

，

．

（1）当

，

时，则切点弦

所在的直线必过点

；

（2）当

，

时，则切点弦

所在的直线必过点

．

结论30：

过双曲线

（

）的实轴上任意一点

（

）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

所在的直线必过点

．

结论31：

过抛物线

（

）外任意一点

作抛物线的两条切线，切点分别为

，

，弦

的中点为

，则直线

必与其对称轴平行．

结论32：

若椭圆

（

）与双曲线

（

，

）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．

结论33：

过椭圆外一定点

作其一条割线，交点为

，

，则满足

的动点

的轨迹就是过

作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论34：

过双曲线外一定点

作其一条割线，交点为

，

，则满足

的动点

的轨迹就是过

作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论35：

过抛物线外一定点

作其一条割线，交点为

，

，则满足

的动点

的轨迹就是过

作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论36：

过双曲线外一点

作其一条割线，交点为

，

，过

，

分别作双曲线的切线相交于点

，则动点

的轨迹就是过

作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论37：

过椭圆外一点

作其一条割线，交点为

，

，过

，

分别作椭圆的切线相交于点

，则动点

的轨迹就是过

作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论38：

过抛物线外一点

作其一条割线，交点为

，

，过

，

分别作抛物线的切线相交于点

，则动点

的轨迹就是过

作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论39：

从椭圆

（

）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：

．

结论40：

从

（

）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：

．

结论41：

是椭圆

（

）的一个焦点，

是椭圆上任意一点，则焦半径

．

结论42：

是双曲线

（

）的右焦点，

是双曲线上任意一点．

（1）当点

在双曲线右支上，则焦半径

；

（2）当点

在双曲线左支上，则焦半径

．

结论43：

是抛物线

（

）的焦点，

是抛物线上任意一点，则焦半径

=

．

结论44：

椭圆上任一点

处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说

处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．

结论45：

双曲线上任一点

处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说

处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．

结论46：

抛物线上任一点

处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质．

结论47：

椭圆的准线上任一点

处的切点弦

过其相应的焦点

，且

⊥

．

结论48：

双曲线的准线上任一点

处的切点弦

过其相应的焦点

，且

⊥

．

结论49：

抛物线的准线上任一点

处的切点弦

过其焦点

，且

⊥

．

结论50：

椭圆上任一点

处的切线交准线于

，

与相应的焦点

的连线交椭圆于

，则

必与该椭圆相切，且

⊥

．

结论51：

双曲线上任一点

处的切线交准线于

，

与相应的焦点

的连线交双曲线于

，则

必与该双曲线相切，且

⊥

．

结论52：

抛物线上任一点

处的切线交准线于

，

与焦点

的连线交抛物线于

，则

必与该抛物线相切，且

⊥

．

结论53：

焦点在

轴上的椭圆（或焦点在

轴）上三点

，

，

的焦半径成等差数列的充要条件为

，

，

的横坐标（纵坐标）成等差数列．

结论54：

焦点在

轴上的双曲线（或焦点在

轴）上三点

，

，

的焦半径成等差数列的充要条件为

，

，

的横坐标（纵坐标）成等差数列．

结论55：

焦点在

轴上的抛物线（或焦点在

轴）上三点

，

，

的焦半径成等差数列的充要条件为

，

，

的横坐标（纵坐标）成等差数列．

结论56：

椭圆上一个焦点

关于椭圆上任一点

处的切线的对称点为

，则直线

必过该椭圆的另一个焦点

．

结论57：

双曲线上一个焦点

关于双曲线上任一点

处的切线的对称点为

，则直线

必过该双曲线的另一个焦点

．

结论58：

椭圆上任一点

（非顶点），过

的切线和法线分别与短轴相交于

，

，则有

，

，

及两个焦点共于一圆上．

结论59：

双曲线上任一点

（非顶点），过

的切线和法线分别与短轴相交于

，

，则有

，

，

及两个焦点共于一圆上．

结论60：

椭圆上任一点

（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点

，

的切线相交于

，

，则必得到以

为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．

结论61：

双曲线上任一点

（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点

，

的切线相交于

，

，则必得到以

为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．

结论62：

以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆．

结论63：

以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆．

结论64：

以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．

结论65：

焦点在

轴上的椭圆（或焦点在

轴上）上任一点

（非短轴顶点）与短轴的两个顶点

，

的连线分别交

轴（或

轴）于

，

，则

（或

）．

结论66：

焦点在

轴上的双曲线（或焦点在

轴上）上任一点

（非顶点）与实轴的两个顶点

，

的连线分别交

轴（或

轴）于

，

，则

（或

）．

结论67：

为焦点在

轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则

与边

（或

）相切的旁切圆与

轴相切于右顶点

（或左顶点

）．

结论68：

为焦点在

轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则

的内切圆与

轴相切于右顶点

（或左顶点

）．

结论69：

是过椭圆

（

）的焦点

的一条弦（非通径），弦

的中垂线交

轴于

，则

=

．

结论70：

是过双曲线

（

）的焦点

的一条弦（非通径，且为单支弦），弦

的中垂线交

轴于

，则

=

．

结论71：

是过抛物线

（

）的焦点

的一条弦（非通径），弦

的中垂线交

轴于

，则

=

．

结论72：

为抛物线的焦点弦，分别过

，

作抛物线的切线，则两条切线的交点

在其准线上．

结论73：

为椭圆的焦点弦，分别过

，

作椭圆的切线，则两条切线的交点

在其相应的准线上．

结论74：

为双曲线的焦点弦，分别过

，

作双曲线的切线，则两条切线的交点

在其相应的准线上．

结论75：

为过抛物线焦点

的焦点弦，以

为直径的圆必与其准线相切．