中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第6章课后习题详解.doc
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高等数学一第6章课后习题详解
课后习题全解
习题6-2
★1．求由曲线与直线所围图形的面积。
知识点：
平面图形的面积
思路：
由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可
解：
见图6-2-1
0
1
图6-2-1
∵所围区域D表达为X-型：
，（或D表达为Y-型：
）
∴
（）
★2．求在区间[0，/2]上，曲线与直线、所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可
解：
见图6-2-2
0
图6-2-2
1
∵所围区域D表达为X-型：
，（或D表达为Y-型：
）
∴
（）
★★3．求由曲线与所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做
解：
见图6-2-3
0
4
图6-2-3
∵两条曲线的交点：
，
∴所围区域D表达为Y-型：
，
∴
（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：
）
★★4．求由曲线、、及直线所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单
解：
见图6-2-4
0
1
图6-2-4
1
2
∵第一象限所围区域表达为Y-型：
，
∴
（若用X-型做，则第一象限内所围区域，其中：
，
：
；∴）
★★5．求由曲线与直线及所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做
解：
见图6-2-5
0
1
图6-2-5
2
1
∵两条曲线和的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和分别交于
、
∴所围区域表达为X-型：
，
∴
★★★6．抛物线分圆的面积为两部分，求这两部分的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单
解：
见图6-2-6，设阴影部分的面积为，剩余面积为
0
图6-2-6
0
2
∵两条曲线、的交于（舍去的解），
∴所围区域表达为Y-型：
；又图形关于x轴对称，
∴
（其中）
∴
★★★7．求由曲线、与直线所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做
解：
见图6-2-7
0
1
图6-2-7
1
∵两条曲线和的交点为（0，1），又这两条线和分别交于
和
∴所围区域表达为X-型：
，
∴
★★★8．求由曲线与直线及所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做
解：
见图6-2-8
0
1
图6-2-8
∵在的定义域范围内所围区域：
，
∴
★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：
（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；
（2）它与x轴所围图形面积最小
知识点：
平面图形面积和求最值
思路：
首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量
解：
由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为，（由于下弯，所以），将（1，2）代入，得到，因此
该抛物线和X轴的交点为和，
∴所围区域：
∴
得到唯一极值点：
，
∴所求抛物线为：
★★★★10．求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积
知识点：
切线方程和平面图形面积
思路：
先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型
解：
，∴在任一点处的切线方程为
而过（0，0）的切线方程就为：
，即
所求图形区域为,见图6-2-10
0
图6-2-10
X-型下的：
，：
∴
★★★11．求由曲线所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
作图可知该曲线是半径为、圆心（）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为，
也可选择极坐标求面积的方法做。
解：
∵作图6-1-11
0
图6-1-11
知所求图形区域：
∴
★★★12．求三叶玫瑰线的面积
知识点：
平面图形面积
图6-2-12
0
思路：
三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成
图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶，
而一叶图形又关于对称，
因此选择其中一叶的一半区域求其面积
解：
∵：
∴
★★★13．求由曲线所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域求其面积
图6-2-13
0
解：
∵：
∴★★★14．求对数螺线及射线所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
作图可知该曲线围成的图形是由，从到一段曲线及射线所围，由此可确定、的范围
图6-2-14
0
解：
∵所围区域：
∴
★★★★15．求由曲线及所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
思路：
作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分，而又关于极轴对称，设在（0，）内的曲线和极轴围成的半个为区域
图6-2-15
0
3/2
解：
两条曲线、交于处，
因此分割区域，其中：
，：
★★★16．求由曲线及所围图形的面积
知识点：
平面图形面积
图6-2-16
0
思路：
作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分，而又关于射线对称，设两条曲线在（0，）围成的半个为区域
解：
两条曲线、交于及
因此分割区域，其中：
，：
（和书后答案不同）
★★★17．求由摆线，及x轴所围图形的面积
0
图6-2-17
知识点：
平面图形面积
思路：
在直角坐标系下作图可知所围图形的、变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成
解：
∵所围区域：
，
（为摆线）
∴，
作代换，
则
习题6-3
1．求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：
★
（1）．曲线与直线、、所围成的图形；
0
1
图6-3-1-1
4
知识点：
旋转体体积
思路：
作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），
代入相应的公式。
解：
平面图形D：
，见图6-3-1-1
绕x轴旋转产生的立体体积：
；
绕y轴旋转产生的立体体积：
（和书上答案不同）
★★
（2）．在区间上，曲线与直线、所围成的图形；
0
图6-3-1-2
1
解：
平面图形D：
，见图6-3-1-2，
绕x轴旋转产生的立体体积：
；
绕y轴旋转产生的立体体积：
方法一：
方法二：
可看作由（矩形，）绕y轴旋转而成的体积，减去由（，）绕y轴旋转而成的立体体积所得
∴
★（3）．曲线与直线、所围成的图形。
解：
平面图形D：
，绕x轴旋转产生的立体体积：
；
绕y轴旋转产生的立体体积：
（绕y轴旋转产生的立体体积如同
（2）也有两种计算法）
★★2．求由曲线、所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：
旋转体体积
思路：
该平面图形绕y轴旋转而成体积可看作：
绕y轴旋转而成的体积，减去
：
绕y轴旋转而成的立体体积所得，见图6-3-2
0
1
图6-3-2
1
解：
★★3．求由曲线（）与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：
旋转体体积
思路：
作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式
解：
平面图形D：
，绕y轴旋转产生的立体体积：
（绕y轴旋转产生的立体体积如同1
（2）也有两种计算法）
★★★4．求由曲线，，，（）所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。
0
图6-3-4
知识点：
旋转体体积
思路：
作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式
解：
平面图形D：
，见图6-3-4，
绕x轴旋转产生的立体体积：
★★★5．求摆线，的一拱与所围图形绕直线轴旋转而成的旋转体体积。
知识点：
旋转体体积
图6-3-5
0
思路：
若设所围区域为，则该平面图形绕旋转而成体积可看作矩形区域：
绕旋转而成的体积，减去区域：
绕旋转而成的立体体积所得，（其中，表示摆线的函数式，见图6-3-5
解：
，作代换，则
★★★★6．求绕（）旋转而成的旋转体体积。
知识点：
旋转体体积
0
图6-3-6
线段
思路：
由图形的对称性可知所求体积，其中是由（）部分，绕旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，是由图形中的线段（）绕旋转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6
解：
★★★★7．由心形线和射线及所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。
知识点：
旋转体体积
思路：
极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转
图6-3-7
0
8
解：
平面区域：
（），见图6-3-7
∵心形线的直角坐标表示：
（），根据直角坐标下的体积计算及，得：
★★★8．计算底面是半径为的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。
知识点：
已知平行截面面积的立体体积
思路：
首先以固定直径为x轴确立圆方程：
，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公式。
见图6-3-8
图6-3-8
解：
以固定直径为x轴圆心为坐标原点，则圆方程为：
，
在圆内，垂直于x轴的截面面积，
∴
★★9．求曲线与直线，及所围成的图形分别绕ox轴、oy轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：
旋转体体积
思路：
作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式
解：
平面图形D：
，绕x轴旋转产生的立体体积：
；
绕y轴旋转产生的立体体积：
（绕y轴旋转产生的立体体积如同1
（2）也有两种计算法）
★★★★10．设直线与直线，，及所围成的梯形面积等于，试求、，使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小（，）。
知识点：
旋转体体积，以及最值问题
思路：
作出平面图形（
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