三角函数九类经典题型Word文件下载.docx
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tane+tane—22+2—24
5.
tane+1
22+1
⑵•••-
4VaV2
•••cos
av0,sin
aV0且cos
a>
sina,
a—Sina
>
0.
又(cos
a—sina
)2=1—2sin
acosa=1
3n
5n
—2X-=
8
3
4,
…cos
a—sin
a=¥
思维升华
(1)利用sin2a+cos2
a=1可以实现角a的正弦、余弦的互化
a可以实现角a的弦切互化.⑵
应用公式时注意方程思想的应用:
对于
Sinacosa,
sina—cosa这三个式子,
可以知一求二
(3)注意公式逆用及变形应用:
利用=
cosa
:
tan
sina+cos
a,
1±
2sinacos
a=1—cosa,
cos
222
1=sina+cosa,sin
利用(Sina±
cosa)2=
a=1—sina.
—cosa=2,a€(0,n
),则tana
—
a—cosa
由
.2
a+cosa:
消去
a得:
2cosa+
2、已知sin
即(,2cos
2.2COSa+1=0,
a+1)=0,
1,
..COSa
又久€(0,n),
3n
~4,
.tana=tan=—1.
类型二诱导公式的应用
n17n,亠
1、已知Sina+12=3,贝UCOSa+刁〒的值为
&
丄l7nnn
解析
(1)COSa+12=COSa+乜+y
n1
一Sina+徨一3.
思维升华
(1)诱导公式用法的一般思路
1化大角为小角.
nn
2角中含有加减y的整数倍时,用公式去掉y的整数倍.
⑵常见的互余和互补的角
nnnnnn土、上.
1吊见的互余的角:
一a与三+a;
石"
+a与三一a;
丁+a与二"
一a等.
363644
2常见的互补的角:
n+e与好一e;
n+e与芋—e等.
3344
-n1n
2、已知Sin——a=y,贝UCOS—+a=.
解析•••
n
亍—
-a
+訂
a=
2,
.COS
+
a
=COS—
-—
—a
6
=sin
——
变式:
已知
Sin
7—a
则cos
(2)=
类型三三角函数的单调性
1、
(1)函数f(x)=tan2x—3的单调递增区间是
⑵已知3>
0,函数f(x)=sin3x+4在2,n上单调递减,则3的取值范围是
knnkn,5n15
答案
(1)~2-祛~2+12(k€Z)
(2)2,4
解析⑴由kn—2<
2x-n<
kn+2(k€Z)得,
knnkn5n
7-12<
x<
7+厉化€z),
所以函数f(x)=tan2x-扌的单调递增区间为罗一总,号+気你€Z).
(2)由2<
x<
n,3>
0得,
connnn
f+4<
3汁4<
on+4,
又y=sinx在才,尹上递减,
所以
2+4A2,
解得5.
思维升华
(1)已知三角函数解析式求单调区间:
①求函数的单调区间应遵循简单化原则,
将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;
②求形如y=Asin(ox+⑥或y
=Acos(ox+0)(其中3>
0)的单调区间时,要视“3X+为一个整体,通过解不等式求解.但
如果3<
0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数
的单调区间求参数•先求出整体函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
2、
(1)函数f(x)=sin—2x+3的单调减区间为
⑵已知
函数f(x)=cos
n上单调递增,则
3的取值范围是
n537
答案⑴kn—石,kn+12n,k€Z
(2),4
解析
(1)由已知函数为y=—sin2x—3,
欲求函数的单调减区间,只需求y=sin2x—扌的单调增区间.
由2kn—2x—3W2kn+,k€Z,
得kn—fwx<
kn+77,k€Z.
1212
故所给函数的单调减区间为kn—12,kn+茫代€Z).
⑵函数y=cosx的单调递增区间为[—n+2kn2kn,k€Z,
3n,n、
+—A—n+2kn
k€Z,
则
n〜
3兀+4w2kn
解得4k—5<
2k—4,k€Z,
511
又由4k—;
—2k—w0,k€Z且2k—二〉0,k€Z,
244
37
得k=i,所以3,7.
类型四三角函数的周期性、对称性
1、
(1)已知函数f(x)=sin(3x+妨3>
0,|训v的最小正周期是n若将f(x)的图象向右平移
§
个单位后得到的图象关于原点对称,则关于函数f(x)的图象,下列叙述正确的有(填
①关于直线x=$对称;
3关于点葛,0对称;
②关于直线x=in对称;
4关于点77,0对称.
正确的序号).
⑵已知函数y=2sin2x+3的图象关于点P(x°
0)对称,若xo€—?
0,则x°
=.
2n解析
(1)由题意知一=n,•••3=2;
nn2
又由f(x)的图象向右平移3个单位后得到y=sin[2x—-+创=sin2x+3n,此时关于原
2n2nn2nn
点对称,•-—亍+(=knk€Z,•片亍+knk€Z,又|训<
?
•—+knv3,
•k=—1,$=—n•f(x)=sin2x—当x=论时,
2x—n=—n•①、③错误;
当x=矛寸,2x—n=n,.••②正确,④错误.
⑵由题意可知2X0+^=knk€Z,故x0=罗―Jk€Z,又x0€―扌,0,•k=0时,x0
=—6.
2、若函数y=cos3x+n(3€N*)图象的一个对称中心是才,0,贝卩3的最小值为
答案2
解析由题意知+扌=kn+2(k€Z)?
3=6k+2(k€Z),又N*,-«
min=2.
思维升华
(1)对于函数y=Asin(»
+©
,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中
心一定是函数的零点,因此在判断直线x=xg或点(xo,O)是不是函数的对称轴或对称中心时,
可通过检验f(xo)的值进行判断.
⑵求三角函数周期的方法:
①利用周期函数的定义.
2n
②利用公式:
y=Asin(3x+©
)和y=Acos(3x+©
的最小正周期为,y=tan(3x+©
)的最小正
周期为
3、⑴已知函数f(x)=2sin(3x+$),对于任意x都有f§
+x
f■—x,则f-的值为
66
7t
⑵已知函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=芋对称,则实数a的值为
答案
(1)2或一2
(2)—
nnn―
(1)tf~+x=f-—x,x=二是函数f(x)=2sin(3x+©
666
的一条对称轴.
⑵由x=¥
是f(x)图象的对称轴,可得f(0)=f13^,解得
33
类型五函数y=Asin(wx+0)的图象及变换
1、
(1)把函数y=sin(x+$)图象上各点的横坐标缩短到原来的
2(纵坐标不变),再将图象向右
平移3个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为
(填正确的序号).
①x=—n;
②x=—n;
③x=n;
④x=n.
2484
⑵设函数f(x)=COS3X
(3>
0),将y=f(x)的图象向右平移3个单位长度后,所得的图象与原
图象重合,则3的最小值等于
解析
(1)将y=sin(x+&
图象上各点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变),得到函数y=
sin(2x+》;
再将图象向右平移3个单位长度,得到函数y=sin[2(x—扌+》=sin(2x—空,故x
—和其图象的一条对称轴方程.
(2)由题意可知,nT=n(n€N*),
.2nn*
•-n-=3(n€N),
CO3
•3=6n(n€N*),•当n=1时,o取得最小值6.
类型六由图象确定y=Asin(oX0的解析式
1、
(1)已知函数y=Asin(ox+册(A>
0,o>
0,^电)的图象上一个最高点的坐标为(2,•-2),
由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点(6,0),则此函数的解析式
为.
⑵函数f(x)=Asin(ox+$)(A>
0,o>
0,W|vn的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式
解析⑴由题意得A=72,T=6—2,所以T=16,o=罕=才.又sin8x2+0=1,所以才+
n
0=2+2knk€Z).又因为|0<
2,所以0=4.
⑵由题图可知A=込,T=g—n=4,,所以T=n,故3=2,因此f(x)=V2sin(2x+0),又$n,—.2为最小值点,•••2X$+0=2kn+爭k€Z,「.A2kn+f,k€Z,
又I0<
n•0=扌.故f(x)=.2sin(2x+p•
2、函数f(x)=2sin(o