三角函数九类经典题型Word文件下载.docx

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tane+tane—22+2—24

tane+1

22+1

⑵•••-

4VaV2

•••cos

av0,sin

aV0且cos

sina,

a—Sina

又（cos

a—sina

）2=1—2sin

acosa=1

—2X-=

…cos

a—sin

a=¥

思维升华

（1）利用sin2a+cos2

a=1可以实现角a的正弦、余弦的互化

a可以实现角a的弦切互化.⑵

应用公式时注意方程思想的应用：

对于

Sinacosa,

sina—cosa这三个式子,

可以知一求二

（3）注意公式逆用及变形应用:

利用=

cosa

tan

sina+cos

1±

2sinacos

a=1—cosa,

cos

222

1=sina+cosa,sin

利用（Sina±

cosa）2=

a=1—sina.

—cosa=2,a€（0,n

），则tana

—

a—cosa

由

a+cosa:

消去

a得:

2cosa+

2、已知sin

即（,2cos

2.2COSa+1=0,

a+1）=0,

..COSa

又久€（0,n）,

~4，

.tana=tan=—1.

类型二诱导公式的应用

n17n,亠

1、已知Sina+12=3，贝UCOSa+刁〒的值为

丄l7nnn

解析

（1）COSa+12=COSa+乜+y

一Sina+徨一3.

思维升华

（1）诱导公式用法的一般思路

1化大角为小角.

2角中含有加减y的整数倍时，用公式去掉y的整数倍.

⑵常见的互余和互补的角

nnnnnn土、上.

1吊见的互余的角：

一a与三+a；

石"

+a与三一a；

丁+a与二"

一a等.

363644

2常见的互补的角：

n+e与好一e；

n+e与芋—e等.

3344

-n1n

2、已知Sin——a=y,贝UCOS—+a=.

解析•••

亍—

-a

+訂

2，

.COS

=COS—

-—

—a

=sin

——

变式：

已知

Sin

7—a

则cos

（2）=

类型三三角函数的单调性

1、

（1）函数f（x）=tan2x—3的单调递增区间是

⑵已知3>

0，函数f（x）=sin3x+4在2，n上单调递减，则3的取值范围是

knnkn,5n15

答案

（1）~2-祛~2+12（k€Z）

（2）2,4

解析⑴由kn—2<

2x-n<

kn+2（k€Z）得，

knnkn5n

7-12<

7+厉化€z）,

所以函数f（x）=tan2x-扌的单调递增区间为罗一总，号+気你€Z）.

（2）由2<

n,3>

0得，

connnn

f+4<

3汁4<

on+4，

又y=sinx在才，尹上递减，

所以

2+4A2,

解得5.

思维升华

（1）已知三角函数解析式求单调区间：

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，

将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；

②求形如y=Asin（ox+⑥或y

=Acos（ox+0）（其中3>

0）的单调区间时，要视“3X+为一个整体，通过解不等式求解.但

如果3<

0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

（2）已知三角函数

的单调区间求参数•先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

2、

（1）函数f（x）=sin—2x+3的单调减区间为

⑵已知

函数f（x）=cos

n上单调递增，则

3的取值范围是

n537

答案⑴kn—石，kn+12n,k€Z

（2），4

解析

（1）由已知函数为y=—sin2x—3,

欲求函数的单调减区间，只需求y=sin2x—扌的单调增区间.

由2kn—2x—3W2kn+,k€Z,

得kn—fwx<

kn+77,k€Z.

1212

故所给函数的单调减区间为kn—12，kn+茫代€Z）.

⑵函数y=cosx的单调递增区间为[—n+2kn2kn,k€Z,

3n,n、

+—A—n+2kn

k€Z,

则

n〜

3兀+4w2kn

解得4k—5<

2k—4,k€Z,

511

又由4k—；

—2k—w0,k€Z且2k—二〉0,k€Z,

244

得k=i，所以3,7.

类型四三角函数的周期性、对称性

1、

（1）已知函数f（x）=sin（3x+妨3>

0,|训v的最小正周期是n若将f（x）的图象向右平移

个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f（x）的图象，下列叙述正确的有（填

①关于直线x=$对称;

3关于点葛，0对称；

②关于直线x=in对称;

4关于点77,0对称.

正确的序号）.

⑵已知函数y=2sin2x+3的图象关于点P（x°

0）对称，若xo€—?

0，则x°

2n解析

（1）由题意知一=n,•••3=2;

nn2

又由f（x）的图象向右平移3个单位后得到y=sin[2x—-+创=sin2x+3n，此时关于原

2n2nn2nn

点对称，•-—亍+（=knk€Z,•片亍+knk€Z,又|训<

•—+knv3,

•k=—1,$=—n•f（x）=sin2x—当x=论时,

2x—n=—n•①、③错误；

当x=矛寸,2x—n=n,.••②正确，④错误.

⑵由题意可知2X0+^=knk€Z,故x0=罗―Jk€Z,又x0€―扌，0,•k=0时，x0

=—6.

2、若函数y=cos3x+n（3€N*）图象的一个对称中心是才，0,贝卩3的最小值为

答案2

解析由题意知+扌=kn+2（k€Z）?

3=6k+2（k€Z），又N*,-«

min=2.

思维升华

（1）对于函数y=Asin（»

+©

，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中

心一定是函数的零点，因此在判断直线x=xg或点（xo,O）是不是函数的对称轴或对称中心时,

可通过检验f（xo）的值进行判断.

⑵求三角函数周期的方法:

①利用周期函数的定义.

②利用公式：

y=Asin（3x+©

）和y=Acos（3x+©

）的最小正

周期为

3、⑴已知函数f（x）=2sin（3x+$）,对于任意x都有f§

f■—x，则f-的值为

⑵已知函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=芋对称，则实数a的值为

答案

（1）2或一2

（2）—

nnn―

666

的一条对称轴.

⑵由x=¥

是f（x）图象的对称轴，可得f（0）=f13^，解得

类型五函数y=Asin（wx+0）的图象及变换

1、

（1）把函数y=sin（x+$）图象上各点的横坐标缩短到原来的

2（纵坐标不变），再将图象向右

平移3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为

（填正确的序号）.

①x=—n；

②x=—n；

③x=n；

④x=n.

2484

⑵设函数f（x）=COS3X

（3>

0），将y=f（x）的图象向右平移3个单位长度后，所得的图象与原

图象重合，则3的最小值等于

解析

（1）将y=sin（x+&

图象上各点的横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），得到函数y=

sin（2x+》；

再将图象向右平移3个单位长度，得到函数y=sin[2（x—扌+》=sin（2x—空,故x

—和其图象的一条对称轴方程.

（2）由题意可知，nT=n（n€N*）,

.2nn*

•-n-=3（n€N）,

CO3

•3=6n（n€N*），•当n=1时，o取得最小值6.

类型六由图象确定y=Asin（oX0的解析式

1、

（1）已知函数y=Asin（ox+册（A>

0,o>

0,^电）的图象上一个最高点的坐标为（2，•-2）,

由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6,0），则此函数的解析式

为.

⑵函数f（x）=Asin（ox+$）（A>

0,o>

0,W|vn的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式

解析⑴由题意得A=72,T=6—2,所以T=16,o=罕=才.又sin8x2+0=1,所以才+

0=2+2knk€Z）.又因为|0<

2，所以0=4.

⑵由题图可知A=込,T=g—n=4，，所以T=n,故3=2，因此f（x）=V2sin（2x+0）,又$n,—.2为最小值点，•••2X$+0=2kn+爭k€Z,「.A2kn+f,k€Z,

又I0<

n•0=扌.故f（x）=.2sin（2x+p•

2、函数f（x）=2sin（o

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