第学高考理科数学通用版二轮复习 一部分层级三30分的拉分题因人而定酌情自选Word格式文档下载.docx

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函数图象的应用

导数的几何意义、直线方程

计数原理与组合知识、新定义问题

2015

函数的概念、不等式的解法

正、余弦定理解三角形

函数的单调性与奇偶性、导数在研究函数中的应用、不等式解法等

数列的递推关系式、等差数列的定义与通项

审题探寻实质

[典例]　（2016·

四川高考）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′，；

当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；

③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；

④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．

其中的真命题是________（写出所有真命题的序号）．

[解析]　对于①，特殊值法．取A（1,1），则A′，A′的“伴随点”为点（－1，－1）．故①为假命题．

对于②，单位圆的方程为x2＋y2＝1，设其上任意一点（x，y）的“伴随点”为（x′，y′），

则

∴y2＋（－x）2＝y2＋x2＝1.故②为真命题．

③设A（x，y），B（x，－y），则它们的伴随点分别为A′，B′，A′与B′关于y轴对称，故③为真命题．

④设共线的三点A（－1,0），B（0,1），C（1,2），则它们的伴随点分别为A′（0,1），B′（1,0），C′，此三点不共线，故④为假命题．

故真命题为②③.

[答案]　②③

[题后悟通]

1．解答此题应理解“伴随点”的含义，即P（x，y）→P′，问题即可解决．

2．解答新定义问题要仔细观察，认真阅读，在彻底领悟、准确辨析的基础上，进行归纳、类比，将新定义问题转化为已有知识的问题解决．　　　　

[针对训练]

1．（2018届高三·

湘中高三联考）对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围为________．

解析：

由Hn＝2n＋1，

得n·

2n＋1＝a1＋2a2＋…＋2n－1an，①

则当n≥2时，（n－1）·

2n＝a1＋2a2＋…＋2n－2an－1，②

①－②，得2n－1an＝n·

2n＋1－（n－1）·

2n，

所以an＝2n＋2，令bn＝an－kn＝（2－k）n＋2，

又Sn≤S5对任意的n∈N*恒成立，所以

即解得≤k≤.

答案：

运算善用技巧

全国卷Ⅱ）若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln（x＋1）的切线，则b＝________.

[解析]　求得（lnx＋2）′＝，[ln（x＋1）]′＝.

设曲线y＝lnx＋2上的切点为（x1，y1），曲线y＝ln（x＋1）上的切点为（x2，y2），

则k＝＝，所以x2＋1＝x1.

又y1＝lnx1＋2，y2＝ln（x2＋1）＝lnx1，

所以k＝＝2，

所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln2，

所以b＝y1－kx1＝2－ln2－1＝1－ln2.

[答案]　1－ln2

解答本题体现了运算技巧，在求解中，巧妙地利用斜率k得出x1＝x2＋1，利用斜率公式可求得k的值，再代入直线方程，求出b的值．解答此类问题应注意整体代换、变形代换的思想．

[针对训练]

2．（2017·

郑州质检）设正实数x，y满足x>

，y>

1，不等式＋≥a恒成立，则a的最大值为（　　）

A．2　　　　　　　　　B．4

C．8D．16

选C　法一：

依题意得，2x－1>

0，y－1>

0，＋＝＋≥＋≥4×

2＝8，即＋≥8，当且仅当即时，取等号，因此＋的最小值是8，即a≤8，故a的最大值是8.

法二：

令m＝2x－1，n＝y－1，

则m>

0，n>

0，x＝，y＝n＋1，

＋＝＋

＝＋≥＋≥2＝8，

当且仅当m＝1且n＝1，即x＝1，y＝2时取等号，

即＋≥8，

故a≤8，所以a的最大值是8.

排除简化过程

[典例]　（2017·

天津高考）已知函数f（x）＝设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．[－2,2]B．[－2，2]

C．[－2,2]D．[－2，2]

[解析]　选A　法一：

作出f（x）的图象如图所示．

当y＝的图象经过点（0,2）时，可知a＝±

2.

当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，

由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，

并结合图象可得a＝2.

要使f（x）≥恒成立，

当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0，

当a＞0时，需满足a≤2，即0＜a≤2，

综上可知，－2≤a≤2.

∵f（x）≥在R上恒成立，

∴－f（x）－≤a≤f（x）－在R上恒成立．

①令g（x）＝－f（x）－.

当0≤x＜1时，f（x）＝x＋2，

g（x）＝－x－2－＝－x－2≤－2，

即g（x）max＝－2.

当x＜0时，f（x）＝－x＋2，g（x）＝x－2－＝－2，

即g（x）＜－2.

当x≥1时，

f（x）＝x＋，g（x）＝－x－－＝－x－≤－2，

∴a≥－2.

②令h（x）＝f（x）－.

当0≤x＜1时，

f（x）＝x＋2，h（x）＝x＋2－＝＋2≥2，

即h（x）min＝2.

当x＜0时，

f（x）＝－x＋2，h（x）＝－x＋2－＝－x＋2＞2，

即h（x）＞2.

f（x）＝x＋，h（x）＝x＋－＝＋≥2，

∴a≤2.

法三：

若a＝2，则当x＝0时，f（0）＝2，

而＝2，不等式不成立，故排除选项C，D.

若a＝－2，则当x＝0时，f（0）＝2，而＝2，不等式不成立，故排除选项B.故选A.

此题直接求解难度较大，但也有一定的技巧可取，通过比较四个选项，只需判断a＝2，－2是否满足条件即可，这种策略在做选择题时经常用到．　　　　

3．（2017·

东北四市高考模拟）已知函数f（x）＝，若对∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

选C　f（x）＝＝1＋，

令t＝cosx＋2，由于－1≤cosx≤1，因此1≤t≤3，

设g（t）＝1＋（1≤t≤3）．

法一：

若对∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，不妨设a<

c，b<

c，则只需满足f（a）＋f（b）>

f（c）恒成立，故只需2f（x）min>

f（x）max即可，即2g（t）min>

g（t）max.当m＝2时，f（a）＝f（b）＝f（c）＝1，成立，故m＝2符合题意；

当m<

2时，g（t）＝1＋在[1,3]上单调递增，则解得<

m<

2；

当m>

2时，g（t）＝1＋在[1,3]上单调递减，则解得2<

5.综上，<

5.

令m＝5，则g（t）＝1＋（1≤t≤3），∴2≤g（t）≤4.取f（a）＝f（b）＝2，f（c）＝4.不合题意，排除A、B；

取m＝，则g（t）＝1－（1≤t≤3），∴≤g（t）≤，取f（a）＝，f（b）＝，f（c）＝，不合题意，排除D，故选C.

破解巧取特殊

全国卷Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi＋yi）＝（　　）

A．0B．m

C．2mD．4m

[解析]　法一：

因为f（－x）＝2－f（x），所以f（－x）＋f（x）＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,1）对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点（0,1）对称．所以函数y＝与y＝f（x）图象的交点（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）成对出现，且每一对均关于点（0,1）对称，所以i＝0，i＝2×

＝m，所以（xi＋yi）＝m.

因为f（－x）＝2－f（x），所以f（－x）＋f（x）＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,1）对称．可设y＝f（x）＝x＋1，由得交点（－1,0），（1,2），则x1＋y1＋x2＋y2＝2，结合选项，应选B.

[答案]　B

1．解答此题的思路是由条件f（－x）＝2－f（x）知y＝f（x）的图象关于点（0,1）对称，从而构造特殊函数y＝x＋1，解出与y＝的交点坐标，代入、验证．

2．处理此类问题经常根据题中所给出的条件巧妙选择特殊函数、特殊图形、特殊位置等进行求解．　　　　

4．（2017·

沈阳质检）已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·

的值是（　　）

A．－B.

C．－D.

选A　法一：

令点P（x0，y0），因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos＝－，所以·

＝||·

||·

cos∠APB＝·

＝×

＝－.

如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±

x，

∴∠AOB＝60°

，

∴∠APB＝120°

∴·

<

0.

取P点为双曲线右顶点．

则|PA|＝|PB|＝|OP|＝，

一、选择题

1．设a1，a2，a3，…，an∈R，n≥3.若p：

a1，a2，a3，…，an成等比数列；

q：

（a＋a＋…＋a）（a＋a＋…＋a）＝（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2，则（　　）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

选A　（特殊数列）取大家最熟悉的等比数列an＝2n，代入q命题（不妨取n＝3）满足，再取an＝3n代入q命题（不妨取n＝3）也满足，反之取a1＝a2＝a3＝…＝an＝0时，满足q命题，但不满足p命题，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件．

全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝（　　）

A．－　　　　　　　　　　B．

C．D．1

由f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），得f（2－x）＝（2－x）2－2（2－x）＋a[e2－x－1＋e－（2－x）＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a（e1－x＋ex－1）＝x2－2x＋a（ex－