工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案全Word格式.docx

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（1）1234;

解逆序数为0

（2）4132;

解逆序数为4:

41,43,42,32.（3）3421;

解逆序数为5:

32,31,42,41,21.（4）2413;

解逆序数为3:

21,41,43.（5）13（2n-1）24（2n）;

解逆序数为:

32（1个）52,54（2个）72,74,76（3个）（2n-1）2,（2n-1）4,（2n-1）6,（2n-1）（2n-2）（n-1个）（6）13（2n-1）（2n）（2n-2）2.解逆序数为n（n-1）:

32（1个）52,54（2个）（2n-1）2,（2n-1）4,（2n-1）6,（2n-1）（2n-2）（n-1个）42（1个）62,64（2个）（2n）2,（2n）4,（2n）6,（2n）（2n-2）（n-1个）3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为（-1）ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是（-1）ta11a23a32a44=（-1）1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,（-1）ta11a23a34a42=（-1）2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:

解.

（2）;

解.（3）;

解.（4）.解=abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:

（1）=（a-b）3;

证明=（a-b）3.

（2）;

证明.（3）;

证明（c4-c3,c3-c2,c2-c1得）（c4-c3,c3-c2得）.（4）=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）;

证明=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）.（5）=xn+a1xn-1+an-1x+an.证明用数学归纳法证明.当n=2时,命题成立.假设对于（n-1）阶行列式命题成立,即Dn-1=xn-1+a1xn-2+an-2x+an-1,则Dn按第一列展开,有=xDn-1+an=xn+a1xn-1+an-1x+an.因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det（aij）,把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转,依次得,证明,D3=D.证明因为D=det（aij）,所以.同理可证.7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）:

（1）,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;

解（按第n行展开）=an-an-2=an-2（a2-1）.

（2）;

解将第一行乘（-1）分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=x+（n-1）a（x-a）n-1.（3）;

解根据第6题结果,有此行列式为范德蒙德行列式.（4）;

解（按第1行展开）.再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=（andn-bncn）D2n-2.于是.而,所以.（5）D=det（aij）,其中aij=|i-j|;

解aij=|i-j|,=（-1）n-1（n-1）2n-2.（6）,其中a1a2an0.解.8.用克莱姆法则解下列方程组:

解因为,所以,.

（2）.解因为,所以,.9.问,取何值时,齐次线性方程组有非零解？

解系数行列式为.令D=0,得=0或=1.于是,当=0或=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问取何值时,齐次线性方程组有非零解？

解系数行列式为=（1-）3+（-3）-4（1-）-2（1-）（-3-）=（1-）3+2（1-）2+-3.令D=0,得=0,=2或=3.于是,当=0,=2或=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:

求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.解由已知:

故,.2.已知两个线性变换,求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.解由已知,所以有.3.设,求3AB-2A及ATB.解,.4.计算下列乘积:

解.

（2）;

解=（13+22+31）=（10）.（3）;

解.（4）;

解.（5）;

解=（a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3）.5.设,问:

（1）AB=BA吗?

解ABBA.因为,所以ABBA.

（2）（A+B）2=A2+2AB+B2吗?

解（A+B）2A2+2AB+B2.因为,但,所以（A+B）2A2+2AB+B2.（3）（A+B）（A-B）=A2-B2吗?

解（A+B）（A-B）A2-B2.因为,而,故（A+B）（A-B）A2-B2.6.举反列说明下列命题是错误的:

（1）若A2=0,则A=0;

解取,则A2=0,但A0.

（2）若A2=A,则A=0或A=E;

解取,则A2=A,但A0且AE.（3）若AX=AY,且A0,则X=Y.解取,则AX=AY,且A0,但XY.7.设,求A2,A3,Ak.解,.8.设,求Ak.解首先观察,.用数学归纳法证明:

当k=2时,显然成立.假设k时成立，则k+1时，,由数学归纳法原理知:

.9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为AT=A,所以（BTAB）T=BT（BTA）T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵.10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性:

因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以（AB）T=（BA）T=ATBT=AB,即AB是对称矩阵.必要性:

因为AT=A,BT=B,且（AB）T=AB,所以AB=（AB）T=BTAT=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵:

解.|A|=1,故A-1存在.因为,故.

（2）;

解.|A|=10,故A-1存在.因为,所以.（3）;

解.|A|=20,故A-1存在.因为,所以.（4）（a1a2an0）.解,由对角矩阵的性质知.12.解下列矩阵方程:

解.（4）.解.13.利用逆矩阵解下列线性方程组:

解方程组可表示为,故,从而有.

（2）.解方程组可表示为,故,故有.14.设Ak=O（k为正整数）,证明（E-A）-1=E+A+A2+Ak-1.证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为E-Ak=（E-A）（E+A+A2+Ak-1）,所以（E-A）（E+A+A2+Ak-1）=E,由定理2推论知（E-A）可逆,且（E-A）-1=E+A+A2+Ak-1.证明一方面,有E=（E-A）-1（E-A）.另一方面,由Ak=O,有E=（E-A）+（A-A2）+A2-Ak-1+（Ak-1-Ak）=（E+A+A2+Ak-1）（E-A）,故（E-A）-1（E-A）=（E+A+A2+Ak-1）（E-A）,两端同时右乘（E-A）-1,就有（E-A）-1（E-A）=E+A+A2+Ak-1.15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及（A+2E）-1.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,即A（A-E）=2E,或,由定理2推论知A可逆,且.由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E,即（A+2E）（A-3E）=-4E,或由定理2推论知（A+2E）可逆,且.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得|A2-A|=2,即|A|A-E|=2,故|A|0,所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|20,故A+2E也可逆.由A2-A-2E=OA（A-E）=2EA-1A（A-E）=2A-1E,又由A2-A-2E=O（A+2E）A-3（A+2E）=-4E（A+2E）（A-3E）=-4E,所以（A+2E）-1（A+2E）（A-3E）=-4（A+2E）-1,.16.设A为3阶矩阵,求|（2A）-1-5A*|.解因为,所以=|-2A-1|=（-2）3|A-1|=-8|A|-1=-82=-16.17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且（A*）-1=（A-1）*.证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时,有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-10,从而A*也可逆.因为A*=|A|A-1,所以（A*）-1=|A|-1A.又,所以（A*）-1=|A|-1A=|A|-1|A|（A-1）*=（A-1）*.18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:

（1）若|A|=0,则|A*|=0;

（2）|A*|=|A|n-1.证明

（1）用反证法证明.假设|A*|0,则有A*（A*）-1=E,由此得A=AA*（A*）-1=|A|E（A*）-1=O,所以A*=O,这与|A*|0矛盾，故当|A|=0时,有|A*|=0.

（2）由于,则AA*=|A|E,取行列式得到|A|A*|=|A|n.若|A|0,则|A*|=|A|n-1;

若|A|=0,由

（1）知|A*|=0,此时命题也成立.因此|A*|=|A|n-1.19.设,AB=A+2B,求B.解由AB=A+2E可得（A-2E）B=A,故.20.设,且AB+E=A2+B,求B.解由AB+E=A2+B得（A-E）B=A2-E,即（A-E）B=（A-E）（A+E）.因为,所以（A-E）可逆,从而.21.设A=diag（1,-2,1）,A*BA=2BA-8E,求B.解由A*BA=2BA-8E得（A*-2E）BA=-8E,B=-8（A*-2E）-1A-1=-8A（A*-2E）-1=-8（AA*-2A）-1=-8（|A|E-2A）-1=-8（-2E-2A）-1=4（E+A）-1=4diag（2,-1,2）-1=2diag（1,-2,1）.22.已知矩阵A的伴随阵,且ABA-1=BA-1+3E,求B.解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.由ABA-1=BA-1+3E得AB=B+3A,B=3（A-E）-1A=3A（E-A-1）-1A.23.设P-1AP=,其中,求A11.解由P-1AP=,得A=PP-1,所以A11=A=P11P-1.|P|=3,而,故.24.设AP=P,其中,求（A）=A8（5E-6A+A2）.解（）=8（5E-6+2）=diag（1,1,58）diag（5,5,5）-diag（-6,6,30）+diag（1,1,25）=diag（1,1,58）diag（12,0,0）=12diag（1,0,0）.（A）=P（）P-1.25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.证明因为A-1（A+B）B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,而A-1（A+B）