工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案全Word格式.docx
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(1)1234;
解逆序数为0
(2)4132;
解逆序数为4:
41,43,42,32.(3)3421;
解逆序数为5:
32,31,42,41,21.(4)2413;
解逆序数为3:
21,41,43.(5)13(2n-1)24(2n);
解逆序数为:
32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,(2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)13(2n-1)(2n)(2n-2)2.解逆序数为n(n-1):
32(1个)52,54(2个)(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,(2n-1)(2n-2)(n-1个)42(1个)62,64(2个)(2n)2,(2n)4,(2n)6,(2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:
解.
(2);
解.(3);
解.(4).解=abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:
(1)=(a-b)3;
证明=(a-b)3.
(2);
证明.(3);
证明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);
证明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=xn+a1xn-1+an-1x+an.证明用数学归纳法证明.当n=2时,命题成立.假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即Dn-1=xn-1+a1xn-2+an-2x+an-1,则Dn按第一列展开,有=xDn-1+an=xn+a1xn-1+an-1x+an.因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转,依次得,证明,D3=D.证明因为D=det(aij),所以.同理可证.7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):
(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
解(按第n行展开)=an-an-2=an-2(a2-1).
(2);
解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=x+(n-1)a(x-a)n-1.(3);
解根据第6题结果,有此行列式为范德蒙德行列式.(4);
解(按第1行展开).再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2.于是.而,所以.(5)D=det(aij),其中aij=|i-j|;
解aij=|i-j|,=(-1)n-1(n-1)2n-2.(6),其中a1a2an0.解.8.用克莱姆法则解下列方程组:
解因为,所以,.
(2).解因为,所以,.9.问,取何值时,齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为.令D=0,得=0或=1.于是,当=0或=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问取何值时,齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为=(1-)3+(-3)-4(1-)-2(1-)(-3-)=(1-)3+2(1-)2+-3.令D=0,得=0,=2或=3.于是,当=0,=2或=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.解由已知:
故,.2.已知两个线性变换,求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.解由已知,所以有.3.设,求3AB-2A及ATB.解,.4.计算下列乘积:
解.
(2);
解=(13+22+31)=(10).(3);
解.(4);
解.(5);
解=(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3).5.设,问:
(1)AB=BA吗?
解ABBA.因为,所以ABBA.
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?
解(A+B)2A2+2AB+B2.因为,但,所以(A+B)2A2+2AB+B2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?
解(A+B)(A-B)A2-B2.因为,而,故(A+B)(A-B)A2-B2.6.举反列说明下列命题是错误的:
(1)若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A0.
(2)若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A0且AE.(3)若AX=AY,且A0,则X=Y.解取,则AX=AY,且A0,但XY.7.设,求A2,A3,Ak.解,.8.设,求Ak.解首先观察,.用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.假设k时成立,则k+1时,,由数学归纳法原理知:
.9.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵.证明因为AT=A,所以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵.10.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性:
因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即AB是对称矩阵.必要性:
因为AT=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵:
解.|A|=1,故A-1存在.因为,故.
(2);
解.|A|=10,故A-1存在.因为,所以.(3);
解.|A|=20,故A-1存在.因为,所以.(4)(a1a2an0).解,由对角矩阵的性质知.12.解下列矩阵方程:
解.(4).解.13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
解方程组可表示为,故,从而有.
(2).解方程组可表示为,故,故有.14.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+Ak-1),所以(E-A)(E+A+A2+Ak-1)=E,由定理2推论知(E-A)可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).另一方面,由Ak=O,有E=(E-A)+(A-A2)+A2-Ak-1+(Ak-1-Ak)=(E+A+A2+Ak-1)(E-A),故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1,就有(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+Ak-1.15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,即A(A-E)=2E,或,由定理2推论知A可逆,且.由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,或由定理2推论知(A+2E)可逆,且.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得|A2-A|=2,即|A|A-E|=2,故|A|0,所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|20,故A+2E也可逆.由A2-A-2E=OA(A-E)=2EA-1A(A-E)=2A-1E,又由A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E(A+2E)(A-3E)=-4E,所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1,.16.设A为3阶矩阵,求|(2A)-1-5A*|.解因为,所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-82=-16.17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时,有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-10,从而A*也可逆.因为A*=|A|A-1,所以(A*)-1=|A|-1A.又,所以(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:
(1)若|A|=0,则|A*|=0;
(2)|A*|=|A|n-1.证明
(1)用反证法证明.假设|A*|0,则有A*(A*)-1=E,由此得A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O,所以A*=O,这与|A*|0矛盾,故当|A|=0时,有|A*|=0.
(2)由于,则AA*=|A|E,取行列式得到|A|A*|=|A|n.若|A|0,则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0,由
(1)知|A*|=0,此时命题也成立.因此|A*|=|A|n-1.19.设,AB=A+2B,求B.解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故.20.设,且AB+E=A2+B,求B.解由AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).因为,所以(A-E)可逆,从而.21.设A=diag(1,-2,1),A*BA=2BA-8E,求B.解由A*BA=2BA-8E得(A*-2E)BA=-8E,B=-8(A*-2E)-1A-1=-8A(A*-2E)-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)-1=4diag(2,-1,2)-1=2diag(1,-2,1).22.已知矩阵A的伴随阵,且ABA-1=BA-1+3E,求B.解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.由ABA-1=BA-1+3E得AB=B+3A,B=3(A-E)-1A=3A(E-A-1)-1A.23.设P-1AP=,其中,求A11.解由P-1AP=,得A=PP-1,所以A11=A=P11P-1.|P|=3,而,故.24.设AP=P,其中,求(A)=A8(5E-6A+A2).解()=8(5E-6+2)=diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).(A)=P()P-1.25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.证明因为A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,而A-1(A+B)