九年级数学上册【根的判别式的应用】压轴题专题训练.docx

九年级数学上册【根的判别式的应用】压轴题专题训练.docx

《九年级数学上册【根的判别式的应用】压轴题专题训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册【根的判别式的应用】压轴题专题训练.docx（4页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

九年级数学上册

【根的判别式的应用】压轴题

【一】判断一元二次方程根的情况

【例题】已知关于x的一元二次方程x2＋（m＋3）x＋m＋1＝0.求证：

无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．

证明：

Δ＝（m＋3）2－4（m＋1）＝（m＋1）2＋4.

∵无论m取何值时，（m＋1）2＋4的值恒大于0，

∴原方程总有两个不相等的实数根．

【例题】已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）＝0.

（1）求证：

方程恒有两个不相等的实数根；

解：

∵b2－4ac＝[－（m＋2）]2－4×1×（2m－1）＝m2－4m＋8＝（m－2）2＋4>0，

∴方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

解：

把x＝1代入方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）＝0中，解得m＝2，

∴原方程为x2－4x＋3＝0，

解这个方程得x1＝1，x2＝3，

∴方程的另一个根为x＝3.

①当1，3为直角边长时，斜边长为√12+32＝√10，

∴直角三角形的周长为1＋3＋√10＝4＋√10.

②当3为斜边长时，另一条直角边长为√32-12＝2√2，

∴直角三角形的周长为1＋3＋2√2＝4＋2√2.

【二】确定一元二次方程中字母系数的值

【例题】已知关于x的一元二次方程x2－2√3x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为多少？

解：

∵关于x的一元二次方程x2－2√3x－k＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝0，即（－2√3）2－4×（－k）＝12＋4k＝0，

解得k＝－3.

【例题】已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求ab2/（a-2）2+b2-4的值．

解：

∵ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0.

∴ab2/（a-2）2+b2-4＝ab2-4a+4+b2-4

＝ab2/a2－4a+b2＝ab2/a2＝b2/a＝4.

【三】确定一元二次方程中字母系数的取值范围

【例题】已知关于x的方程x2－2（k－1）x＋k2＝0有两个实数根，求k的取值范围．

解：

依题意，得Δ≥0，即[－2（k－1）]2－4k2≥0，

整理，得－8k＋4≥0，解得k≤1/2.

【四】确实一元二次方程中字母系数的取值范围

【例题】已知关于x的一元二次方程（k－2）2x2＋（2k＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k取值范围是多少？

解：

∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2.

∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，∴（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，

∴（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，

∴5（4k－3）＞0，k＞3/4，故k＞3/4且k≠2.

【例题】如果关于x的方程mx2－2（m＋2）x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程（m－5）x2－2（m－1）x＋m＝0的根的情况．

解：

∵方程mx2－2（m＋2）x＋m＋5＝0没有实数根，∴m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，

∴Δ＝[－2（m＋2）]2－4m（m＋5）

＝4（m2＋4m＋4－m2－5m）＝4（4－m）＜0，

∴m＞4.

对于方程（m－5）x2－2（m－1）x＋m＝0，

当m＝5时，方程有一个实数根；

当m≠5时，Δ＝[－2（m－1）]2－4m（m－5）＝4（3m＋1）．

∵m＞4，

∴3m＋1＞13，

∴Δ＝4（3m＋1）＞0，方程有两个不相等的实数根，

∴当m＝5时，方程（m－5）x2－2（m－1）x＋m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．

【例题】关于x的一元二次方程（a－6）x2－8x＋9＝0有实根．

（1）求a的最大整数值；

解：

∵关于x的一元二次方程（a－6）x2－8x＋9＝0有实根，

∴a－6≠0，Δ＝（－8）2－4×（a－6）×9≥0，解得a≤70/9且a≠6.

∴a的最大整数值为7.

（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－32x-7/x2-8x+11的值．

解：

①当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.

∵a＝1，b＝－8，c＝9，

∴Δ＝（－8）2－4×1×9＝28，

∴x＝【-（-8）±√28】/2，即x＝4±√7，

∴x1＝4＋√7，x2＝4－√7.

②∵x是一元二次方程x2－8x＋9＝0的根，

∴x2－8x＝－9.

∴2x2－【32x-7/x2－8x+11】＝2x2－32x-7/-9+11

＝2x2－16x＋7/2＝2（x2－8x）＋7/2＝2×（－9）＋7/2

＝－29/2.