工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案全Word格式.docx

1、（1）1 2 3 4;解 逆序数为 0 （2）4 1 3 2;解 逆序数为 4:41,43,42,32.（3）3 4 2 1;解 逆序数为 5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1.（4）2 4 1 3;解 逆序数为 3:2 1,4 1,4 3.（5）1 3 （2n-1）2 4 （2n）;解 逆序数为:3 2（1 个）5 2,5 4（2 个）7 2,7 4,7 6（3 个）（2n-1）2,（2n-1）4,（2n-1）6,（2n-1）（2n-2）（n-1 个）（6）1 3 （2n-1）（2n）（2n-2）2.解 逆序数为 n（n-1）:3 2（1 个）5 2,5 4（2 个）（2n-1）2,（

2、2n-1）4,（2n-1）6,（2n-1）（2n-2）（n-1 个）4 2（1 个）6 2,6 4（2 个）（2n）2,（2n）4,（2n）6,（2n）（2n-2）（n-1个）3.写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项.解 含因子 a11a23 的项的一般形式为（-1）ta11a23a3ra4s,其中 rs 是 2 和 4构成的排列,这种排列共有两个,即 24 和 42.所以含因子 a11a23 的项分别是 （-1）ta11a23a32a44=（-1）1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,（-1）ta11a23a34a42=（-1）2a11a23a34a42=a11a2

3、3a34a42.4.计算下列各行列式:解 .（2）;解 .（3）;解 .（4）.解 =abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:（1）=（a-b）3;证明 =（a-b）3.（2）;证明 .（3）;证明 （c4-c3,c3-c2,c2-c1 得）（c4-c3,c3-c2得）.（4）=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）;证明 =（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）.（5）=xn+a1xn-1+an-1x+an.证明 用数学归纳法证明.当 n=2 时,命题成立.假设对于（n-1）阶行列式命题成立,即 Dn-1=xn

4、-1+a1 xn-2+an-2x+an-1,则 Dn 按第一列展开,有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+an-1x+an.因此,对于 n阶行列式命题成立.6.设 n阶行列式 D=det（aij）,把 D上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转,依次得 ,证明,D3=D.证明 因为 D=det（aij）,所以 .同理可证 .7.计算下列各行列式（Dk为 k 阶行列式）:（1）,其中对角线上元素都是 a,未写出的元素都是 0;解 （按第 n 行展开）=an-an-2=an-2（a2-1）.（2）;解 将第一行乘（-1）分别加到其余各行,得 ,再将各列都加到第一列上,得 =x+（n-

5、1）a（x-a）n-1.（3）;解 根据第 6题结果,有 此行列式为范德蒙德行列式.（4）;解 （按第 1 行展开）.再按最后一行展开得递推公式 D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即 D2n=（andn-bncn）D2n-2.于是.而,所以.（5）D=det（aij）,其中 aij=|i-j|;解 aij=|i-j|,=（-1）n-1（n-1）2n-2.（6）,其中 a1a2 an0.解 .8.用克莱姆法则解下列方程组:解 因为 ,所以,.（2）.解 因为 ,所以,.9.问,取何值时,齐次线性方程组有非零解？解 系数行列式为 .令 D=0,得 =0 或=1.于是,当=0或=1 时

6、该齐次线性方程组有非零解.10.问 取何值时,齐次线性方程组有非零解？解 系数行列式为 =（1-）3+（-3）-4（1-）-2（1-）（-3-）=（1-）3+2（1-）2+-3.令 D=0,得 =0,=2 或=3.于是,当=0,=2 或=3 时,该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算 1.已知线性变换:,求从变量 x1,x2,x3到变量 y1,y2,y3 的线性变换.解 由已知:,故 ,.2.已知两个线性变换 ,求从 z1,z2,z3 到 x1,x2,x3的线性变换.解 由已知 ,所以有.3.设,求 3AB-2A及 ATB.解 ,.4.计算下列乘积:解.（2）;解=（13+22+31）

7、=（10）.（3）;解.（4）;解.（5）;解 =（a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3）.5.设,问:（1）AB=BA 吗?解 ABBA.因为,所以 ABBA.（2）（A+B）2=A2+2AB+B2 吗?解（A+B）2A2+2AB+B2.因为,但,所以（A+B）2A2+2AB+B2.（3）（A+B）（A-B）=A2-B2 吗?解（A+B）（A-B）A2-B2.因为,而,故（A+B）（A-B）A2-B2.6.举反列说明下列命题是错误的:（1）若 A2=0,则 A=0;解 取,则 A2=0,但 A0.（2）若 A2=A,则 A

8、=0 或 A=E;解 取,则 A2=A,但 A0且 AE.（3）若 AX=AY,且 A0,则 X=Y.解 取 ,则 AX=AY,且 A0,但 XY.7.设,求 A2,A3,Ak.解,.8.设,求 Ak.解 首先观察 ,.用数学归纳法证明:当 k=2 时,显然成立.假设 k时成立，则 k+1 时，,由数学归纳法原理知:.9.设 A,B 为 n阶矩阵，且 A为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵.证明 因为 AT=A,所以 （BTAB）T=BT（BTA）T=BTATB=BTAB,从而 BTAB 是对称矩阵.10.设 A,B 都是 n阶对称矩阵，证明 AB是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA.证

9、明 充分性:因为 AT=A,BT=B,且 AB=BA,所以 （AB）T=（BA）T=ATBT=AB,即 AB是对称矩阵.必要性:因为 AT=A,BT=B,且（AB）T=AB,所以 AB=（AB）T=BTAT=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵:解.|A|=1,故 A-1存在.因为 ,故.（2）;解.|A|=10,故 A-1存在.因为 ,所以.（3）;解.|A|=20,故 A-1存在.因为 ,所以.（4）（a1a2 an 0）.解,由对角矩阵的性质知 .12.解下列矩阵方程:解 .（4）.解 .13.利用逆矩阵解下列线性方程组:解 方程组可表示为 ,故,从而有.（2）.解 方程组可表示为 ,故,故有

10、.14.设 Ak=O（k为正整数）,证明（E-A）-1=E+A+A2+Ak-1.证明 因为 Ak=O,所以 E-Ak=E.又因为 E-Ak=（E-A）（E+A+A2+Ak-1）,所以（E-A）（E+A+A2+Ak-1）=E,由定理 2推论知（E-A）可逆,且 （E-A）-1=E+A+A2+Ak-1.证明 一方面,有 E=（E-A）-1（E-A）.另一方面,由 Ak=O,有 E=（E-A）+（A-A2）+A2-Ak-1+（Ak-1-Ak）=（E+A+A2+A k-1）（E-A）,故（E-A）-1（E-A）=（E+A+A2+Ak-1）（E-A）,两端同时右乘（E-A）-1,就有 （E-A）-1（E

11、-A）=E+A+A2+Ak-1.15.设方阵 A满足 A2-A-2E=O,证明 A及 A+2E都可逆,并求 A-1及（A+2E）-1.证明 由 A2-A-2E=O得 A2-A=2E,即 A（A-E）=2E,或,由定理 2推论知 A可逆,且.由 A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E,即（A+2E）（A-3E）=-4E,或 由定理 2推论知（A+2E）可逆,且.证明 由 A2-A-2E=O得 A2-A=2E,两端同时取行列式得|A2-A|=2,即|A|A-E|=2,故|A|0,所以 A可逆,而 A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|20,故 A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O

12、A（A-E）=2E A-1A（A-E）=2A-1E,又由 A2-A-2E=O（A+2E）A-3（A+2E）=-4E （A+2E）（A-3E）=-4 E,所以（A+2E）-1（A+2E）（A-3E）=-4（A+2 E）-1,.16.设 A为 3 阶矩阵,求|（2A）-1-5A*|.解 因为,所以 =|-2A-1|=（-2）3|A-1|=-8|A|-1=-82=-16.17.设矩阵 A可逆,证明其伴随阵 A*也可逆,且（A*）-1=（A-1）*.证明 由,得 A*=|A|A-1,所以当 A可逆时,有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-10,从而 A*也可逆.因为 A*=|A|A-1,所以 （A

13、*）-1=|A|-1A.又,所以 （A*）-1=|A|-1A=|A|-1|A|（A-1）*=（A-1）*.18.设 n阶矩阵 A的伴随矩阵为 A*,证明:（1）若|A|=0,则|A*|=0;（2）|A*|=|A|n-1.证明 （1）用反证法证明.假设|A*|0,则有 A*（A*）-1=E,由此得 A=A A*（A*）-1=|A|E（A*）-1=O,所以 A*=O,这与|A*|0 矛盾，故当|A|=0 时,有|A*|=0.（2）由于,则 AA*=|A|E,取行列式得到|A|A*|=|A|n.若|A|0,则|A*|=|A|n-1;若|A|=0,由（1）知|A*|=0,此时命题也成立.因此|A*|=

14、|A|n-1.19.设,AB=A+2B,求 B.解 由 AB=A+2E可得（A-2E）B=A,故 .20.设,且 AB+E=A2+B,求 B.解 由 AB+E=A2+B得 （A-E）B=A2-E,即（A-E）B=（A-E）（A+E）.因为,所以（A-E）可逆,从而 .21.设 A=diag（1,-2,1）,A*BA=2BA-8E,求 B.解 由 A*BA=2BA-8E 得 （A*-2E）BA=-8E,B=-8（A*-2E）-1A-1 =-8A（A*-2E）-1 =-8（AA*-2A）-1 =-8（|A|E-2A）-1 =-8（-2E-2A）-1 =4（E+A）-1 =4diag（2,-1,2）

15、-1 =2diag（1,-2,1）.22.已知矩阵 A的伴随阵,且 ABA-1=BA-1+3E,求 B.解 由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.由 ABA-1=BA-1+3E得 AB=B+3A,B=3（A-E）-1A=3A（E-A-1）-1A .23.设 P-1AP=,其中,求 A11.解 由 P-1AP=,得 A=PP-1,所以 A11=A=P11P-1.|P|=3,而,故.24.设 AP=P,其中,求（A）=A8（5E-6A+A2）.解（）=8（5E-6+2）=diag（1,1,58）diag（5,5,5）-diag（-6,6,30）+diag（1,1,25）=diag（1,1,58）diag（12,0,0）=12diag（1,0,0）.（A）=P（）P-1 .25.设矩阵 A、B及 A+B都可逆,证明 A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.证明 因为 A-1（A+B）B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,而 A-1（A+B）