数学三角函数公式大全Word下载.docx

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1rad＝°

≈57.30°

18ˊ．1°

＝≈0.01745（rad）

3、弧长公式：

.扇形面积公式：

4、三角函数：

设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则；

；

..

5、三角函数在各象限的符号：

（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函数线

正弦线：

MP;

余弦线：

OM;

正切线：

AT.

7.三角函数的定义域：

定义域

sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函数的基本关系式：

9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：

（一）基本关系

公式组二

公式组三

公式组四

公式组五

公式组六

（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

公式组三公式组四公式组五

,,.

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

（A、＞0）

定义域

R

值域

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

当非奇非偶

当奇函数

单调性

上为增函数；

上为减函数（）

；

上为增函数

上为减函数

（）

上为增函数（）

①与的单调性正好相反；

与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.

②与的周期是.

③或（）的周期.

的周期为2（，如图，翻折无效）.

④的对称轴方程是（），对称中心（）；

的对称轴方程是（），对称中心（）；

的对称中心（）.

⑤当·

·

.

⑥与是同一函数,而是偶函数，则

⑦函数在上为增函数.（×

）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：

一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：

，奇函数：

）

奇偶性的单调性：

奇同偶反.例如：

是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：

若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）

⑨不是周期函数；

为周期函数（）；

是周期函数（如图）；

的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

⑩有.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．（用ωx替换x）

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．（用x＋φ替换x）

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+（-b）替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：

当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·

cotx=tan45°

等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；

配凑角：

α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：

利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：

综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：

观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：

运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：

选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析

例1．已知，求

（1）；

（2）的值.

解：

（1）；

（2）

.

说明：

利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例2．求函数的值域。

设，则原函数可化为

，因为，所以

当时，，当时，，

所以，函数的值域为。

例3．已知函数。

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；

（2）证明：

函数的图像关于直线对称。

（1）所以的最小正周期，因为，

所以，当，即时，最大值为；

欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为，

，

所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

例4．已知函数y=cos2x+sinx·

cosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

（1）y=cos2x+sinx·

cosx+1=（2cos2x－1）++（2sinx·

cosx）+1

=cos2x+sin2x+=（cos2x·

sin+sin2x·

cos）+

=sin（2x+）+

所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法：

一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin（ωx+）+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

本题

（1）还可以解法如下：

当cosx=0时，y=1；

当cosx≠0时，y=+1=+1

化简得：

2（y－1）tan2x－tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8（y－1）（2y－3）≥0,解之得：

≤y≤

∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}

例5．已知函数

（Ⅰ）将f（x）写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域.

（Ⅰ）由=0即

即对称中心的横坐标为

（Ⅱ）由已知b2=ac

即的值域为.

综上所述，，值域为.

本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，

（1）求的值；

（2）若，且a=c，求的面积。

（1）由正弦定理及，有，

即，所以，

又因为，，所以，因为，所以，又，所以。

（2）在中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以的面积为

。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2．集合M＝{x|x＝±

，k∈Z}与N＝{x|x＝，k∈Z}之间的关系是（）

A.MNB.NMC.M＝ND.M∩N＝

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（）

A.60°

B.－60°

C.30°

D.－30°

4．已知下列各角

（1）787°

，

（2）－957°

，（3）－289°

，（4）1711°

，其中在第一象限的角是（）

A.

（1）

（2）B.

（2）（3）C.

（1）（3）D.

（2）（4）

5．设a＜0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（）

A.B.－C.D.－

6．若cos（π＋α）＝－，π＜α＜2π，则sin（2π－α）等于（）

A.－B.C.D.±

7．若α是第四象限角，则π－α是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）

A.2B.C.2sin1D.sin2

9．如果sinx＋cosx＝，且0＜x＜π，那么cotx的值是（）

A.－B.－或－C.－D.或－

10．若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于（）

A.2x－9B.9－2xC.11D.9

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．tan300°

＋cot765°

的值是_____________.

12．若＝2，则sinαcosα的值是_____________.

13．不等式（lg20）2cosx＞1，（x∈（0，π））的解集为_____________.

14．若θ满足cosθ＞－，则角θ的取值集合是_____________.

15．若cos130°

＝a，则tan50°

＝_____________.－

16．已知f（x）＝，若α∈（，π），则f（cosα）＋f（－cosα）可化简为___________.

三、解答题（本大题共5小题