异面直线的判断与所成的角Word文件下载.docx
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A.平行B.垂直
C.相交成60°
角D.异面且成60°
角&
如果两条异面直线称为一对”那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（
A.12对B.24对C.36对D.48对
PQ与RS
9.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线
CM成60°
角；
③EF与MN是异面直线；
④MN//CD,其中正确的是（
A.①②B•③④C.②③D.①③
.填空题（共5小题）
11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，0是底面ABCD的中心，E、F分别
是CC,AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于
C,
A,
12.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2直线PA与平面ABCD所成角为60°
E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为.
13.在棱长为1的正方体ABCDHA'
BCD中，异面直线A'
D与AB所成角的大小是
14.如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是_
1
D
15.空间四边形ABCD中，对角线AC=10,BD=6,M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7,则异面直线AC与BD所成的角为.
参考答案与试题解析
.选择题（共10小题）
1.异面直线是指（）
【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除.
【解答】解：
A不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行.
B不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交.
C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交.
D正确，这就是异面直线的定义.
故选D.
【点评】本题考查异面直线的定义，用举反例的方法判断一个命题是假命题，是一种简单有效的方法.
2.已知：
空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC,CD上的点，且CG吕DC，则直线FH与直线EG（
一胡
A.平行B.相交C.异面D.垂直
【分析】由已知EF为三角形ABD的中位线，从而EF/BD且EF=-BD，由兀斗眈
得在四边形EFHG中，EF//HG,即卩E，F，G，H四点共面，且EFmHG,由此能得出结论.
：
•••四边形ABCD是空间四边形，E、F分别是AB、AD的中点，
•••EF为三角形ABD的中位线
•EF//BD且EF丄BD
2
又•••CG
寺X時DC，•••△CHG^^CDB且HG//BD,HG』BD
3
•••在四边形EFHG中，EF//HG
即E,F,G,H四点共面，且EFMHG,
•四边形EFGH是梯形,•••直线FH与直线EG相交,故选B.
【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判断出
EF/HG且EFMHG,是解答本题的关键.
MN是异面直线的图形有（
GH、
【分析】利用G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，线面的关系可判断
MN是异面直线的图形.
由题意：
G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,对于图1:
G,M是中点，上下面平行，故得GHMN平行;
对于图2:
过N点作GH的平行线，可得GH与MN相交.GH与MN不平行；
且GH与MN
不在同一平面，故得直线GH、MN是异面直线;
对于3:
GH与MN不在同一平面，GH与MN不平行，延长必相交.故得直线GH、MN不是
异面直线;
对于4:
取GH的中点为E,可得GENM是平行四边形.故得GHMN平行;
图2,图3中直线GH、MN是异面直线;
故选：
B.
【点评】本题考查了两条直线在空间图形中的位置的判断.利用了正三棱柱的特征和中点的
性质.属于基础题.
4•在长方体ABCDHAiBiGDi的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（
【分析】作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱.
如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi的十二条棱中,
与面对角线AC垂直且异面的棱有：
BBi和DDi,
•••与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2.
A.
【点评】本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题.
的棱有（）条.
【分析】根据线线角的定义在正方体中逐一寻找判断即可.
根据线线角的定义知，DDi、CC、DC、DiCi都与AiB成45°
角,
所以满足条件的棱有8条,故选：
【点评】本题考查空间中异面直线所成角的定义及其求法，属基础题.
【分析】画出三棱锥，找出它的棱所在直线的异面直线即可.
如图所示，三棱锥P-ABC中，棱PA与BC是异面直线，棱PB与AC是异面直线，棱PC与AB是异面直线;
共3对.
【点评】本题考查了空间中的异面直线的判定问题，解题时应结合图形进行解答，是基础题.
4
C.相交成60。
角D.异面且成60。
角
【分析】以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE/AB,所以/CDE即为直线AB,CD所成的角，在△CDE中求解即可.
如图，直线AB，CD异面.因为DE//AB,
所以/CDE即为直线AB,CD所成的角，
因为△CDE为等边三角形，故/CDE=60
【点评】本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力.
&
A.i2对B.24对C.36对D.48对
即可得到
【分析】画出正方体，查出一条棱的异面直线的对数为4,用正方体的棱数乘以
结果.
如图,
在正方体ABCDHAiBiCiDi中，与棱AB异面的有CG,DDi,B1C1,A1D1共4对,
正方体ABCD-AiBiCiDi有12条棱，排除两棱的重复计算,
•••异面直线共有i2X2=24对.
【点评】本题考查异面直线的判定，体现了组合思想方法，是基础题.
是异面直线的一个图是（
D.
【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系,
把满足条件的选项找出来.
A中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件.
B中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件.
D中，由于PR平行且等于丄SQ,故四边形SRPC为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项
D不满足条件.
C中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项故选C
C满足条件.
【点评】本题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断
2条直线的位置关系，属于基
础题.
10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：
①
AB丄EF;
②AB与
w
/
IfC
E
A.①②
B•③④C.②③D.①③
【分析】
将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置
关系.
【解答】
解：
将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB丄EF,EF与MN是异面直线,
AB/CM，MN丄CD,只有①③正确,
故应选D
【点评】考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面.
•填空题（共5小题）
11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CG,AD的中点，那么异面直线OE和FDi所成角的余弦值等于」1^_.
5
ff
【分析】取BC的中点G.连接GG,贝UGG//FDi,再取GC的中点H,连接HE、OH,贝
OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论.
取BC的中点G.连接GG,贝UGG//FDi,再取GC的中点H,连接HE、OH,贝U
•••E是CG的中点，•••GG//EH
•••/OEH为异面直线所成的角.
在^OEH中，OE昉,HE书,OH噜.
20E-3H
由余弦定理，可得cos/OEH^E?
十酣2-沖3
故答案为：
年
【点评】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所
成的角.
12.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2直线PA与平面ABCD所成角为60°
E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为45，.
【分析】连接AC,即可得出结论.
BD交于点0,连接0E,0P,先证明/PA0即为PA与面ABCD所成的角,
所以/0EB即为异面直线PA与BE所成的角.
因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥,
所以P0丄平面ABCD,
所以A0为PA在面ABCD内的射影，所以/PA0即为PA与面ABCD所成的角，即/PA0=60,
因为PA=2所以0A=0B=10E=1.
△PBC中，PB=PC=2BCV2，二2（4+2）=4+4BE^,aBE亦,
•••0E+0B^=bE^
所以在直角三角形E0B中/0EB=45，即面直线PA与BE所成的角为45°
故答案为为45°
P
A0
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