钢板切割数模Word下载.docx

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3m　的小钢板；

（２）49张2m×

4ｍ的小钢板；

（３）1２张５m×

7m的小钢板；

问题：

应该如何切割钢板最经济？

2、问题分析

（1）算出一块1０m×

10ｍ的钢板可以有１m×

3m、2m×

4m、5ｍ×

7m这样的三种小钢板的多少种组合形式

（2）根据各种不同的组合，画出下料图

（3）根据下料图，利用linｄo软件,找出符合要求又废料很少的方式

3、建立模型

第一步:

寻找可能的下料方法

钢板总面积100m2,1＊3的小钢板面积３m2,2＊4的8m2，5*７的35m２,分别最多切割maxａ、ｍaxb、ｍaｘc　块.则mａxa<

＝3３,ｍax　b＜＝１2,ｍaｘc<

=2，又因为下料边长都是整数，于是底料边长不会超过３ｍ,即底料的面积最多是２*２＝4m。

设一次切割1*3　a块,2＊４b块，5＊７ｃ块，则剩余废料满足0<

=10０－（3a+8ｂ+35c）＜=4.

依据这种理由,底料的面积可能是0,1，2,3,4，我们寻找可能下料的方法，在matheｍａtic中编程如下：

ＤO[DＯ[DO[ＤO[ｉf[３a+8b＋３5c==1００-k,Ｐrinｔ[“（“,ａ，”，”,b,”,”,c,”）”］],{a,０，20}]，｛b,0，7}],｛c,0，1}],{k,0,4}],其中变量ｋ的取值代表废料面积。

执行后得到：

（２0,5,０）

（1９,1,1）

（11，4,1）

（3,7,1）

（17,6,0）

（16,2,1）

（8,5,1）

（14,７,0）

（13,３,１）

（5,6，1）

（1９,5，0）

（１8,1，１）

（１0,4，1）

（2，7,1）

（16,6,0）

（１5，2,1）

（7,5，１）

第二步:

建立假设

假设①由于施工条件有限，切割只能走直线,并只能一刀切到底；

　　②切割不计损耗

第三步:

讨论切割方法的可能性（约定切割余料统称为废料）

方法一：

对应于（２0，5，０）

20块１*3+５块２*4＋废料０*０

方法二：

对应于（1９,1，1）

19块1*3+１块２*4+1块5*7+废料0

方法三:

对应于（11，４,1）

11块1＊３＋４块2*4+1块5*7＋废料０

方法四:

对应于（3,７，1）

3块１*3+7块2*4+1块５*7+废料０

方法五：

对应于（17，6，0）

17块１＊３+6块2*4+废料1*１

方法六：

对应于（１6，２,1）

16块1*3＋2块2*4+１块５＊7+废料1*１

方法七：

对应于（8,５，１）

8块1＊3＋5块2＊4＋1块5＊7＋废料1*1

方法八：

对应于（14,７,０）

1４块1＊３+7块2*4+废料1*2

方法九:

（13,3,1）

13块1*３+3块２＊4＋1块5*7+废料1*2

方法十:

（5，６,１）

５块１*3+6块２*4+1块5*７+废料１*２

方法十一：

（１９,5，0）

因为存在（20，５，０）所以这种方法可省略

方法十二：

（18，1，1）

因为存在（19，1,1）所以这种方法可省略

方法十三：

（１0,4，1）

因为存在（1１,４,1）所以这种方法可省略

方法十四:

（2,7，１）

方法十五:

（16,6,0）

因为存在（１7,６，０）所以这种方法可省略

方法十六：

（15，2,1）

因为存在（16,2,１）所以这种方法可省略

方法十七：

（７，５，　1）

因为存在（8，5，1）所以这种方法可省略

也就是说:

有9种可行方法

第四步:

在lｉndo中编程，找最优解

由于６0*3＋8*49+12*３5/１00=９．9２，

可知最少需要1０块这种钢板下料、

设用切割方法i需要切割xi块钢板，

目标函数一:

总用量最少

Minf＝x1+x2+x３+x４+x５+x６+x7＋ｘ8＋ｘ9+x１0

目标函数二：

总废料的面积最少

Miｎf=0x１+0x2+0x3＋0ｘ4+x5+x6＋x7+2ｘ8+2x９+2x10

约束条件：

20x1+19x2+11x３+３x４+１７x5+16x6＋8x7＋14x８＋13x9+５x１0>

60

5x１+1ｘ２+4x3+7x４+６x5+2x6+5x７＋7x8+3x9＋6ｘ10>

4９

０x1＋1x2＋１x3+0ｘ4+1x5+1x6+1x7＋2x８+2ｘ9＋2x1０＞1２

Ｘi＞＝0

在lindo软件包中编程求解，对第一个目标函数求解:

Miｎf＝x1+x2+x3+x4+x5+x６+x７+ｘ8+x9+x1０

St:

20x1+１9x2+11ｘ3＋3x4+17ｘ5+16x６＋８x7+１４x8+1３ｘ9＋5x10＞60

５x1+1x２＋4ｘ3+7x4＋6x5+2x6+5x7+7x８+3x9+６x1０＞49

0x1+１x2+1x3+0x４+1x5+１x6＋１ｘ7+2x８+2ｘ9+2ｘ10>

12

eｎd

gin10

执行后得到结果:

OBJECTIVEFUNＣＴIONVALUＥ

　１）　１2.０0000

　VＡＲIAＢLＥ　　VALＵE　ＲEDUCEDCOST

　　X1　　０．00０000　1.000000

　　X2　　1.0０0００0　　1.00０００0

　X3　　　0.0０0000　　　１.００000０

　Ｘ4　0．000０00　1．00０0００

　　　X5　　　０.0００００0　　　1.000000

　X6　　０.000000　　1.000０00

Ｘ7　　　0．００000０　　　1.０0000０

　　　　Ｘ8　０.00０000　　　1．0000００

　　　X9　　　６.0０00０0　　1.000000

X１0　　5.０0000０　　　　　１.０0０000

　　　RＯWSLACKOＲ　SUＲPLUＳ　　　DUALPRICES

　　　2）　　62．000000　　　0.0０００0０

　　3）　0.0０0000　０．000000

　　4）　　　0.00０000　　　0.０00000

即钢板总用量最小为12块，最优解为

x1　=0,x２＝1，　x3　=0,ｘ4　=　0,　x5=0，ｘ６=　0,x7＝0,x8=0，x9　=6，x10　＝5，其中多余６2块1*３的钢板。

对第二个目标函数求解:

min0x1+0x2+０x3+0x4＋１x5+１x6+１x７+２x8+2x9＋2x10

ｓt

２0ｘ１+19x2+11x3＋3ｘ4+1７ｘ5＋１６ｘ６＋８x7+14ｘ8+１3x9+5x10＞６0

5x1+x２+4x3＋7x4＋６x5+2ｘ6+５x7+7x８＋3x9+6x10＞4９

x２+ｘ3+x4+x6+x7+x９+x10＞12

ｅnd

gin1０

OＢＪECTIＶＥFUNCTIOＮＶALUＥ

　1）　　　　0.0０00000E+00

VＡＲIABＬＥ　VAＬUE　　ＲEDUCEＤＣＯSＴ

　X1　０.0000０0　　　0.０00００0

　X２　　　1.0000000．0００0０0

　X3　　１2.00000０　　0.000000

　　　　X４　０.０00０00　0.0０000０

　　　X5　０.0０0000　　1.000000

　　X6　　０.０0０000　　1.0000０0

　　　Ｘ７　　０.00000０　1.０00000

　　Ｘ8　　　0.0０0００0　　2.00０00０

　　X９　0．000000　２.0０00０0

　　Ｘ10　０.0000００　　2.000000

RＯWSLACKORSURPLUS　DUＡL　PＲICES

　　２）　9１.000０0０　　　　0．00００0０

　　3）　　　0．000000　　　　　　0．00000０

　4）　　　1．000００0　　　0．000000

即钢板总用量最小为13块,最优解为

x１=0,x2＝１,　x3　＝12,ｘ４=０,ｘ5　=0,x６　＝　0,　x7=0,　x8=0,x９=　0,x10=０，其中多余９１块1*３的钢板和1块5*７的钢板。

四：

模型评价与推广

此题中的模型可以广泛的运用到类似的二维下料问题。

不过对于此道题目，比较困难的地方是准确画出所有可能的下料方式的下料图。

因为很有可能画不出来的那种方式会影响到最优解的获得。

五:

参考文献

《数学模型与计算》　赵东方著　　科学出版社