【易错点】注意取并集交集情况
【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.
例2设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>0.
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
【答案】
（1）{x|x≥3或x≤－1}；
（2）a＝2.
【解析】
（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组或
即或
因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝2.
【易错点】代入得整个过程.
【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.
考点二不等式的证明
例1设a，b，c为正实数，求证：
＋＋＋abc≥2.
【答案】略
【解析】因为a，b，c为正实数，由平均值不等式可得
＋＋≥3，即＋＋≥，
当且仅当＝＝即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2，当且仅当＝abc即abc＝时，等号成立，所以＋＋＋abc≥2.
【易错点】容易忽视取等的条件.
【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.
考点三不等式的综合应用
例1 已知函数f（x）＝|x－a|.
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在
（1）的条件下，若f（x）＋f（x＋5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）y＝225x＋－360（x>2）；
（2）当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.
【解析】 法一
（1）由f（x）≤3得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
（2）当a＝2时，f（x）＝|x－2|，设g（x）＝f（x）＋f（x＋5），
于是g（x）＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x<－3时，g（x）>5；
当－3≤x≤2时，g（x）＝5；当x>2时，g（x）>5.
综上可得，g（x）的最小值为5.
从而若f（x）＋f（x＋5）≥m，即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（－∞，5]．
法二
（1）同法一．
（2）当a＝2时，f（x）＝|x－2|.
设g（x）＝f（x）＋f（x＋5）．
由|x－2|＋|x＋3|≥|（x－2）－（x＋3）|＝5（当且仅当－3≤x≤2时等号成立），得g（x）的最小值为5.
从而，若f（x）＋f（x＋5）≥m，即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（－∞，5]．
【易错点】忽视取值范围，列式子.
【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值.
四、举一反三成果巩固
考点一含有绝对值不等式的解法
1、不等式≥1的实数解集为________．
【答案】（－∞，－2）∪
【解析】≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，x＋2≠0
⇔（x＋1）2≥（x＋2）2，x≠－2⇔x≤－，x≠－2答案：
（－∞，－2）∪
2、若不等式|ax＋2|<6的解集为（－1,2），则实数a等于（ ）．
A．8B．2C．－4D．－8
【答案】C
【解析】由|ax＋2|<6可知－8当a>0时，－∵解集为（－1,2），∴有，∴矛盾，
故a不可能大于0.
当a＝0，则x∈R不符合题意．
当a<0时，∵解集为（－1,2），∴有，∴
故a＝－4.
3、设函数f（x）＝|x＋1|＋|x－a|（a＞0）．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）若不等式f（x）≥5的解集为（－∞，－2]∪[3，＋∞），求a的值．
【答案】
（1）略；
（2）a＝2.
【解析】
（1）f（x）＝|x＋1|＋|x－a|
＝，
函数f（x）如图所示．
（2）由题设知：
|x＋1|＋|x－a|≥5，
如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）
又解集为（－∞，－2]∪[3，＋∞）．
由题设知，当x＝－2或3时，f（x）＝5，
且a＋1＜5即a＜4，
由f（－2）＝（－2）×（－2）－1＋a＝5得a＝2.
考点二不等式的证明
1、已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
（1）求a＋b＋c的值；
（2）求a2＋b2＋c2的最小值。
【答案】
（1）4；
（2）.
【解析】
（1）因为f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|（x＋a）－（x－b）|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立。
又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f（x）的最小值为a＋b＋c.
又已知f（x）的最小值为4，
所以a＋b＋c＝4.
（2）由
（1）知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
（4＋9＋1）≥2＝（a＋b＋c）2＝16，
即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立。
故a2＋b2＋c2的最小值为.
2、已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.
（1）求实数a，b的值；
（2）求＋的最大值.
【答案】
（1）a＝－3，b＝1;
（2）4.
【解析】
（1）由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
则解得a＝－3，b＝1.
（2）＋＝＋≤
＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故（＋）max＝4.
考点三不等式的综合应用
1、已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1（a＞0）．
（1）当a＝1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）;
（2）a≥2.
【解析】
（1）当a＝1时，得2|x－1|≥1，
∴|x－1|≥，x≥或x≤，
∴不等式的解集为.
（2）∵|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|，
∴原不等式解集为R等价于|a－1|≥1，
∴a≥2或a≤0.
又∵a＞0，∴a≥2.
2、已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.
（1）若不等式有解；
（2）若不等式解集为R；
（3）若不等式解集为∅.分别求出m的范围．
【答案】
（1）m＜1;
（2）m＜－1;（3）m≥1.
【解析】法一 因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P（x）与两定点A（－2），B（－3）距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
由图象知（|PA|－|PB|）max＝1，
（|PA|－|PB|）min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
（1）若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；
（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1；
（3）若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.
法二 由|x＋2|－|x＋3|≤|（x＋2）－（x＋3）|＝1，
|x＋3|－|x＋2|＋≤|（x＋3）－（x＋2）|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
（1）若不等式有解，即m＜1.
（2）若不等式解集为R，即m＜－1.
（3）若不等式解集为∅，即m≥1.
五、分层训练能力进阶
【基础达标】
1、解不等式|x2－2x＋3|＜|3x－1|.
【答案】（1,4）
【解析】x2－2x＋3＝（x－1）2＋2＞0，
|x2－2x＋3|＜|3x－1|⇔x2－2x＋3＜|3x－1|
⇔3x－1＞x2－2x＋3或3x－1＜－x2＋2x－3
⇔x2－5x＋4＜0，得1＜x＜4，
由x2＋x＋2＜0，得2＋＜0，
该不等式解集为∅.
综上得原不等式的解集为（1,4）．
2、函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为（ ）．
A．2B.
C．4
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