高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用分层限时跟踪练VWord格式.docx
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A.B.
C.D.
【解析】 由题意，可知方程|lnx|＝ax在区间（0,4）上有三个根，令h（x）＝lnx，则h′（x）＝，又h（x）在（x0，lnx0）处切线y－lnx0＝（x－x0）过原点，得x0＝e，即曲线h（x）过原点的切线的斜率为，而点（4，ln4）与原点确定的直线的斜率为，所以实数a的取值范围是.
【答案】 C
5．（xx·
全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>
0，则a的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，－2）
C．（1，＋∞）D．（－∞，－1）
【解析】 f′（x）＝3ax2－6x，
图
（1）
当a＝3时，f′（x）＝9x2－6x＝3x（3x－2），
则当x∈（－∞，0）时，f′（x）>
0；
x∈时，f′（x）<
x∈时，f′（x）>
0，注意f（0）＝1，f＝>
0，则f（x）的大致图象如图
（1）所示．
不符合题意，排除A、C.
图
（2）
当a＝－时，f′（x）＝－4x2－6x＝－2x（2x＋3），则当x∈时，f′（x）<
0，x∈时，f′（x）>
0，x∈（0，＋∞）时，f′（x）<
0，注意f（0）＝1，f＝－，
则f（x）的大致图象如图
（2）所示．
不符合题意，排除D.
二、填空题
6．（xx·
天津模拟）已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是________．
【解析】 由三次函数的图象可知：
函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有三个公共点，则函数的极大值大于零，而极小值小于零．
由于y′＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1）＝0得：
x1＝－1，x2＝1，
所以当x＜－1时，y′＞0；
当－1＜x＜1时，y′＜0；
当x＞1时，y′＞0；
故知y极大值＝c＋2，y极小值＝c－2；
又因为函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有三个公共点，所以
即实数c的取值范围是（－2,2）．
【答案】 （－2,2）
7．已知圆柱的体积为16πcm3，则当底面半径r＝________cm时，圆柱的表面积最小．
【解析】 圆柱的体积为V＝πr2h＝16π⇒r2h＝16，圆柱的表面积S＝2πrh＋2πr2＝＋2πr2＝2π，
由S′＝2π·
＝0，得r＝2.
r
（0,2）
2
（2，＋∞）
S′
－
＋
S
极小值，也是最小值
∴当底面半径r＝2时，圆柱的表面积最小．
【答案】 2
8．（xx·
长沙模拟）若曲线C1：
y＝ax2（a＞0）与曲线C2：
y＝ex在（0，＋∞）上存在公共点，则a的取值范围为______________．
【解析】 由题意知方程ax2＝ex（a＞0）在（0，＋∞）上有解，则a＝，x∈（0，＋∞），
令f（x）＝，x∈（0，＋∞），则f′（x）＝，x∈（0，＋∞），由f′（x）＝0得x＝2，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）＝在区间（0,2）上是减函数，
当x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）＝在区间（2，＋∞）上是增函数，所以当x＝2时，函数f（x）＝在（0，＋∞）上有最小值f
（2）＝，所以a≥.
【答案】
三、解答题
9．（xx·
泰安模拟）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（6＜x＜11），年销售为u万件，若已知－u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
（1）求年销售利润y关于售价x的函数关系式；
（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
【解】
（1）设－u＝k2，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k2，
解得k＝2.
∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18.
∴y＝（－2x2＋21x＋18）（x－6）＝－2x3＋33x2－108x－108（6＜x＜11）．
（2）y′＝－6x2＋66x－108＝－6（x2－11x＋18）＝－6（x－2）（x－9）．
令y′＝0，得x＝2（舍去）或x＝9，
显然，当x∈（6,9）时，y′＞0；
当x∈（9,11）时，y′＜0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在（6,9）上是递增的，在（9,11）上是递减的．
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
10．（xx·
临沂模拟）已知函数f（x）＝ax＋lnx，函数g（x）的导函数g′（x）＝ex，且g（0）g′
（1）＝e，其中e为自然对数的底数．
（1）若∃x∈（0，＋∞），使得不等式g（x）＜成立，试求实数m的取值范围；
（2）当a＝0时，对于∀x∈（0，＋∞），求证：
f（x）＜g（x）－2.
【解】
（1）因为函数g（x）的导函数g′（x）＝ex，所以g（x）＝ex＋c.
因为g（0）g′
（1）＝e，所以（1＋c）e＝e⇒c＝0，g（x）＝ex.
因为∃x∈（0，＋∞），使得不等式g（x）＜成立，
所以∃x∈（0，＋∞）使得m＜x－ex＋3成立，
令h（x）＝x－ex＋3，则问题可转化为m＜h（x）max，
对于h（x）＝x－ex＋3，x∈（0，＋∞），
由于h′（x）＝1－ex，
当x∈（0，＋∞）时，
因为ex＞1，＋≥2＝，
所以ex＞1，
所以h′（x）＜0，从而h（x）在（0，＋∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）＝3，所以m＜3.
（2）当a＝0时，f（x）＝lnx，
令φ（x）＝g（x）－f（x）－2，则φ（x）＝ex－lnx－2，
所以φ′（x）＝ex－，且φ′（x）在（0，＋∞）上为增函数．
设φ′（x）＝0的根为x＝t，则et＝，即t＝e－t.
因为当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；
当x∈（t，＋∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，＋∞）上为增函数，
所以φ（x）min＝φ（t）＝et－lnt－2＝et－lne－t－2＝et＋t－2，
因为φ′
（1）＝e－1＞0，φ′＝－2＜0，所以t∈.
由于φ（t）＝et＋t－2在t∈上为增函数，
所以φ（x）min＝φ（t）＝et＋t－2＞e＋－2＞＋－2＝0，所以f（x）＜g（x）－2.
1．（xx·
全国卷Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>
0时，xf′（x）－f（x）<
0，则使得f（x）>
0成立的x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）∪（0,1）
B．（－1,0）∪（1，＋∞）
C．（－∞，－1）∪（－1,0）
D．（0,1）∪（1，＋∞）
【解析】 构造函数y＝g（x）＝，通过研究g（x）的图象的示意图与性质得出使f（x）>
0成立的x的取值范围．
设y＝g（x）＝（x≠0），则g′（x）＝，当x>
0，
∴g′（x）<
0，∴g（x）在（0，＋∞）上为减函数，且g
（1）＝f
（1）＝－f（－1）＝0.
∵f（x）为奇函数，∴g（x）为偶函数，
∴g（x）的图象的示意图如图所示．
当x>
0，g（x）>
0时，f（x）>
0,0<
x<
1，
当x<
0，g（x）<
0，x<
－1，
∴使得f（x）>
0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0,1），故选A.
2．（xx·
辽宁高考）当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2]D．[－4，－3]
【解析】 当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
当x∈（0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，
∴a≥max.
设φ（x）＝，
φ′（x）＝
＝－＝－＞0，
∴φ（x）在（0,1]上递增，φ（x）max＝φ
（1）＝－6.
∴a≥－6.
当x∈[－2,0）时，a≤，
∴a≤min.
仍设φ（x）＝，φ′（x）＝－.
当x∈[－2，－1）时，φ′（x）＜0.
当x∈（－1,0）时，φ′（x）＞0.
∴当x＝－1时，φ（x）有极小值，即为最小值．
而φ（x）min＝φ（－1）＝＝－2，∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2.
3．已知f（x）＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝0.现给出如下结论：
①f（0）f
（1）＞0；
②f（0）f
（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0.
其中正确结论的序号是________．
【解析】 ∵f′（x）＝3x2－12x＋9＝3（x－1）（x－3），
由f′（x）＜0，得1＜x＜3，
由f′（x）＞0，得x＜1或x＞3，
∴f（x）在区间（1,3）上是减函数，在区间（－∞，1），（3，＋∞）上是增函数．
又a＜b＜c，f（a）＝f（b）＝f（c）＝0，
∴y极大值＝f
（1）＝4－abc＞0，y极小值＝f（3）＝－abc＜0，
∴0＜abc＜4.
∴a，b，c均大于零，或者a＜0，b＜0，c＞0.
又x＝1，x＝3为函数f（x）的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f（0）＜0，∴f（0）f
（1）＜0，f（0）f（3）＞0，
∴正确结论的序号是②③.
【答案】 ②③
4．已知函数f（x）＝x－，g（x）＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是______________．
【解析】 由于f′（x）＝1＋＞0，因此函数f（x）在[
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