三角形的定义Word文档下载推荐.docx
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∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°
（等式的性质）
∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
（等量代换）
三角形分类
（1）按角度分
a.锐角三角形：
三个角都小于90度。
（三个角都为锐角，等边三角形也是锐角三角形。
）
b.直角三角形（简称Rt△）：
①直角三角形两个锐角互余；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°
，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；
④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
（和③相反）；
c.钝角三角形：
有一个角大于90度。
d.证明全等时可用HL方法
*（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）
（2）按边分
不等边三角形；
等腰三角形（含等边三角形）。
解直角三角形（斜三角形特殊情况）：
等边三角形勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。
比如：
3，4，5。
他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：
3，4，5；
6，8，10；
5,12,13;
10,24,26;
等等.
其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如：
3,4,5；
5,12,13；
8,15,17等等
解斜三角形：
在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有
（1）正弦定理
a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R（R为三角形外接圆半径）
（2）余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
注：
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
（3）余弦定理变形公式
cosA=（b^2+C^2-a^2）/2bC
cosb=（a^2+c^2-b^2）/2aC
cosC=（a^2+b^2-C^2）/2ab
斜三角形的解法：
已知条件
定理应用
一般解法
一边和两角
（如a、B、C）
正弦定理
由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时
有一解。
两边和夹角
（如a、b、c）
余弦定理
由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再
由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边
由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C
在有解时只有一解。
两边和其中一边的对角
（如a、b、A）
由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正
弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。
编辑本段三角形的性质
1.三角形的两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
7.三角形的三条角平分线交与一点，三条高线交与一点，三条中线交于一点。
10.直角等腰三角形底角的角平分线校对边的点为这条边的中点。
9.勾股定理逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：
a^2+b^2=c^2。
那么这个三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是360°
。
11.等底等高的三角形面积相等。
12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
16.全等三角形对应边相等，对应角相等。
17.三角形的重心在三条中线的交点上。
18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
（包括等边三角形）
19△ABC，恒有【tan（A/2）+tan（B/2）】【tan（A/2）+tan（C/2）】=【sec（A/2）】^2。
20三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
21三角形的外心指三角形三条边的垂直平分线的相交点。
22三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
23.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
编辑本段三角形的全等
定义
两个完全重合的三角形称为全等三角形。
变化的方式
1.轴对称。
2.平移。
3.旋转。
4.翻折。
5.多种变换叠加。
条件
1.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"
2.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。
3.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。
4.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。
5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。
注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边机器一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。
编辑本段三角形的五心、四圆、三点、一线
五心的坐标
三角形的五心四圆三点一线
这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。
“五心”指重心（barycenter）、垂心、内心（incenter）、外心（circumcenter）和旁心；
“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；
“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；
“一线”即欧拉线。
以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系数K（a）=-a^2+b^2+c^2，K（b）、K（c）类推。
三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：
记某点面积坐标为（μa,μb,μc），三分量之和为μ，则有Px=（μa·
Xa+μb·
Xb+μc·
Xc）/μ，Py类推。
名称
三线坐标
（内心坐标）
面积坐标
（重心坐标）
重心
三条中线（顶点到对边中点连线）的交点
1/a:
1/b:
1/c
1:
1:
1
垂心
三条高（顶点到对边的垂线）的交点
secA:
secB:
secC
1/K（a）:
1/K（b）:
1/K（c）或
tan（A）:
tan（B）:
tan（C）
内心
三条内角平分线的交点
a:
b:
c
外心
三边中垂线的交点
cosA:
cosB:
cosC
a^2·
K（a）:
b^2·
K（b）:
c^2·
K（c）
旁心
一内角平分线和另两角外角平分线的交点
-1:
1，余类推
-a:
c，余类推
四圆
内切圆：
以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。
外接圆：
以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上。
旁切圆：
以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切。
欧拉圆：
又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。
九点圆圆心为垂心与外心连线中点，三线坐标为：
cos（B-C）:
cos（C-A）:
cos（A-B），半径为外接圆半径的一半。
内切圆与欧拉圆在某一欧拉点相切。
三点
三线坐标
勒莫恩点
三个顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重心
奈格尔点
三个顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心
csc^2（A/2）:
csc^2（B/2）:
csc^2（C/2）
欧拉点
三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点
（暂缺）
一线
垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线，这条直线称为欧拉线。
界心（不常见）
三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。
三角形界心性质：
设点D、E、F分别为⊿ABC的BC、CA、AB边上的周界中点，R、r分别为⊿ABC的
外接圆和内切圆的半径，则
（1）S⊿DEF/S⊿ABC=r/2R；
（2）S⊿DEF≤S⊿ABC/4。
五心的距离
OH^2=9R^2–（a^2+b^2+c^2）,
OG^2=R^2–（a^2+b^2+c^2）/9,
OI^2=R^2–abc/（a+b+c）=R^2–2Rr
GH^2=4OG^2
GI^2=（p^2+5r^2–16Rr）/9,
HI^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr=4R^2+2r^2-（a^2+b^2+c^2）/2,
三角形为什么具有稳定性
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接
∵第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
∴两端点距离不固定
∴这两边夹角不固定
∴n边形（n≥4）每个角都不固定，所以n边形（n≥4）没有稳定性
三角形的边角之间的关系
（1）三角形三内角和等于180°
这个定理的证明
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