三角形的定义Word文档下载推荐.docx

1、ACB+ACE+ECD=BCD=180（等式的性质） ABC+BAC+BCA=180（等量代换） 三角形分类（1）按角度分 a.锐角三角形：三个角都小于90度 。（三个角都为锐角，等边三角形也是锐角三角形。） b.直角三角形（简称Rt）：直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30（和相反）；c.钝角三角形：有一个角大于90度。d.证明全等时可用HL方法 *（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形） （2）按边分 不等边三

2、角形；等腰三角形（含等边三角形）。解直角三角形（斜三角形特殊情况）：等边三角形 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a2+b2=c2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等. 其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如：3,4,5；5,12,13；8,15,17等等 解斜三角形：在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c

3、/SinC=2R （R为三角形外接圆半径） （2）余弦定理 a2=b2+c2-2bc*CosA b2=a2+c2-2ac*CosB c2=a2+b2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。（3）余弦定理变形公式 cosA=（b2+C2-a2）/2bC cosb=（a2+c2-b2）/2aC cosC=（a2+b2-C2）/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角 （如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时 有一解。两边和夹角 （如a、b、c）余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+

4、B+C=180求出另一角，在有解时有一解。三边 由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C 在有解时只有一解。两边和其中一边的对角 （如a、b、A）由正弦定理求出角B，由A+B+C=180求出角C，在利用正 弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。编辑本段三角形的性质1.三角形的两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方-勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一

5、边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。6.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。7.三角形的三条角平分线交与一点，三条高线交与一点，三条中线交于一点。10.直角等腰三角形底角的角平分线校对边的点为这条边的中点。9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2。那么这个三角形就一定是直角三角形。10.三角形的外角和是360。11.等底等高的三角形面积相等。12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。14.在ABC中恒满足tanAtanBtanC=ta

6、nA+tanB+tanC。15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。16.全等三角形对应边相等，对应角相等。17.三角形的重心在三条中线的交点上。18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。（包括等边三角形） 19 ABC，恒有【tan（A/2）+tan（B/2）】【tan（A/2）+tan（C/2）】=【sec（A/2）】2。20 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。21 三角形的外心指三角形三条边的垂直平分线的相交点。22 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。23.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。编辑本段三角形的全等定

7、义两个完全重合的三角形称为全等三角形。变化的方式1.轴对称。2.平移。3.旋转。4.翻折。5.多种变换叠加。条件1.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS2.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。3.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。4.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边机

8、器一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。编辑本段三角形的五心、四圆、三点、一线五心的坐标三角形的五心四圆三点一线这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心（barycenter）、垂心、内心（incenter）、外心（circumcenter）和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系数K（a） = -a2+b2+c2，K（b）、K（c）类推。三线坐标各分量直接乘以相应边长即可

9、转换为面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：记某点面积坐标为（a, b, c），三分量之和为，则有Px = （aXa + bXb + cXc） / ，Py类推。名称三线坐标 （内心坐标）面积坐标 （重心坐标）重心三条中线（顶点到对边中点连线）的交点1/a : 1/b : 1/c1 : 1 : 1垂心三条高（顶点到对边的垂线）的交点sec A : sec B : sec C1/K（a） : 1/K（b） : 1/K（c） 或 tan（A） : tan（B） : tan（C）内心三条内角平分线的交点a : b : c外心三边中垂线的交点cos A : cos B :

10、cos Ca2K（a） : b2K（b） : c2K（c）旁心一内角平分线和另两角外角平分线的交点-1 : 1，余类推-a : c ，余类推四圆 内切圆：以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。外接圆：以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上。旁切圆：以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切。欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。九点圆圆心为垂心与外心连线中点，三线坐标为：cos（B - C） : cos（C - A） : cos（A - B），半径为外接圆半径的一半。内切圆与欧拉圆在

11、某一欧拉点相切。三点 三线坐标勒莫恩点三个顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重心奈格尔点三个顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心csc2（A/2） : csc2（B/2） : csc2（C/2） 欧拉点三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点（暂缺）一线 垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线，这条直线称为欧拉线。界心（不常见） 三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。三角形界心性质：设点D、E、F分别为ABC的BC、CA、AB边上的周界中点，R、r分别为ABC的 外接圆和内切圆的半径，则 （1）SDEF/SABC=r/2R；（2）SDEFSABC/4。五心的距离OH2=9R2 （a2+b2

12、+c2）, OG2=R2 （a2+b2+c2）/9, OI2=R2 abc/（a+b+c）=R2 2Rr GH2=4OG2 GI2=（p2+5r2 16Rr）/9, HI2=4R2-p2+3r2+4Rr=4R2+2r2-（a2+b2+c2）/2, 三角形为什么具有稳定性任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接 第三条边不可伸缩或弯折 两端点距离固定 这两条边的夹角固定 这两条边是任取的 三角形三个角都固定，进而将三角形固定 三角形有稳定性 任取n边形（n4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接 两端点距离不固定 这两边夹角不固定 n边形（n4）每个角都不固定，所以n边形（n4）没有稳定性 三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180,这个定理的证明