几何概型古典概型常考经典好题史上最全面含答案.docx
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几何概型古典概型常考经典好题史上最全面含答案
几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面）
1．在长为2的线段AB上任意取一点C，则以线段AC为半径的圆的面积小于π的概率为（ ）
A. B.C.D.
2．已知正棱锥S ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP ABC＜VS ABC的概率是（ ）
A.B.C.D.
3.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为（ ）
A.B.C.D.
4．在区间上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，]的概率是（ ）
A.B.C.D.
5．若m∈（0,3），则直线（m＋2）x＋（3－m）y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．
6.如图，正四棱锥S ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．
7．平面区域A1＝，A2＝{（x，y）||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为________．
8．在边长为4的等边三角形OAB及其内部任取一点P，使得·≤4的概率为（ ）
A.B.C.D.
9．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝________.
10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________分钟的广告．
11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
12.在面积为的的边上任取一点，则的面积大于的概率为.
13．在中，，在上任取一点，则使为钝角三角形的概率为（）
A．B．C．D．
14.从区间上随机抽取个数，构成个数对，，[来源:
学+，其中两数的平方和小于的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为.
A．B．C．D．
15.在等腰Rt△ABC中，
（1）在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
（2）过直角顶点C在内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM（3）已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A．B．C．D．
16.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）
A.B.C.D.
17.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：
00---7：
00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：
30---7：
30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）
A．B．C．D．
18.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，在包围该三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为．
19.已知圆C：
，直线，圆C上任意一点P到直线的距离小于2的概率为_______________．
20.已知三点，且，则动点P到点C的距离小于的概率为______________.
21.设点（）是区域内的随机点，函数在区间[）上是增函数的概率为________________.
22.设AB＝6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段，
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．
23.已知等差数列的前项和为，且，在区间内任取一个实数作为数列的公差，则的最小值仅为的概率为（）
A．B．C．D．
24．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（ ）
A.B.C.D.
25.用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是（ ）
A.B.C.D.
26.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是中的一
个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）
（A）（B）（C）（D）
27.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（）
A．B．C．D．
28.．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输了的概率是D．乙不输的概率是
29．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是（ ）
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
30．做掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为（ ）
A.B.C.D.
31.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
32.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：
kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y
51
48
45
42
频数
4
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．
33.小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋.
（1）写出数量积X的所有可能取值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
几何概型、古典概型常考经典题答案（史上最全面）
1．在长为2的线段AB上任意取一点C，则以线段AC为半径的圆的面积小于π的概率为（ ）
A. B.C.D.
解析：
选B 设AC＝x，因为以AC为半径的圆的面积小于π，故πx2<π，所以02．已知正棱锥S ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP ABC＜VS ABC的概率是（ ）
A.B.C.D.
解析：
选B 由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP ABC＜VS ABC，
故使得VP ABC＜VS ABC的概率P＝＝1－3＝.
3.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析：
选C 当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝.
4．在区间上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，]的概率是（ ）
A.B.C.D.
解析：
选B 因为x∈，所以x＋∈，由sinx＋cosx＝sin∈[1，]，得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为＝.
5．若m∈（0,3），则直线（m＋2）x＋（3－m）y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．
解析：
对于直线方程（m＋2）x＋（3－m）y－3＝0，
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，
由题意可得··＜，
因为m∈（0,3），所以解得0＜m＜2，
由几何概型计算公式可得，所求事件的概率P＝.
6.如图，正四棱锥S ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．
解析：
设球的半径为R，则所求的概率为P＝＝＝.
7．（2018·湖北七市（州）协作体联考）平面区域A1＝，A2＝{（x，y）||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为________．
解析：
分别画出区域A1，A2，如图中圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为＝1－.
8．在边长为4的等边三角形OAB及其内部任取一点P，使得·≤4的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析：
选D 设在上的投影为||，又·＝||·||，·≤4，则||≤1.取OB的中点M，作MN⊥OA于N，则满足条件的P构成的区域为图中阴影部分，N为OA的四等分点，所以使得·≤4的概率为＝.
9．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝________.
解析：
记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成线段CD，由对称性，可取CD的中点为E，研究PB与AB的长度关系．记PB＝AB时，P点位置为P0，因为“△APB的最大边是AB”发生的概率为，所以＝，设AD＝y，AB＝x，则DE＝x，P0E＝DE＝x，P0C＝x＋x＝x，因为P0C2＋BC2＝P0B2＝AB2，所以2＋y2＝x2，即x2＋y2＝x2，所以y2＝x2，y＝x，所以＝，即＝.
10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________分钟的广告．
解析：
60×＝6（分钟）．
11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：
记“小波周末去看电影”为事件A，
则P（A）＝1－＝，记“小波周末去打篮球”为事件B，则P（B）＝＝，点到圆心的距离大于与点到圆心的距离小于不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，则小波周末不在家看书为事件A＋B.P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.
12.在面积为的的边上任取一点，则的面积大于的概率为.
由题得试验的全部结果构成的区域
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