全国通用版高中数学 模块综合学业质量标准检测 新人教A版必修4Word文件下载.docx

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[解析]　对于A选项，设向量a，b的夹角为θ，∵|a·

b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，∴A选项正确；

对于B选项，∵当向量a，b反向时，|a－b|≥|a|－|b|，∴B选项错误；

对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；

对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出（a＋b）·

（a－b）＝a2－b2，故D选项正确，综上选B．

3．设α是第二象限角，P（x,4）为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝（　D　）

A．B．

C．－D．－

[解析]　∵α是第二象限角，∴cosα＝x<

0，即x<

0．

又cosα＝x＝，解得x＝－3，

∴tanα＝＝－．

4．设a＝（1,2），b＝（1,1），c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于（　A　）

A．－B．－

C．D．

[解析]　因为c＝（1＋k,2＋k），b·

c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－，故选A．

5．若＝－，则sinα＋cosα的值为（　C　）

[解析]　＝－，

即＝－

∴cosα＋sinα＝．

6．将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（　C　）

A．y＝cos＋1B．y＝cos＋1

C．y＝cos＋1D．y＝cos＋1

[解析]　将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得函数y＝cos2的图象，再把y＝cos2的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y＝cos2＋1＝cos＋1．

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝4，则·

等于（　D　）

A．－16B．－8

C．8D．16

[解析]　解法1：

∵·

＝||·

||cosA，

△ABC为直角三角形，∴·

||·

＝||2＝16.故选D．

解法2：

∵△ACB为直角三角形，∴在上的投影为AC，∴·

＝2＝16．

8．已知a＝（cos2α，sinα），b＝（1,2sinα－1），α∈，若a·

b＝，则tan等于（　C　）

[解析]　由题意，得cos2α＋sinα（2sinα－1）＝，整理得sinα＝.又α∈，则cosα＝－.所以tanα＝－．

则tan＝＝．

9．每一个音都是纯音合成的，纯音的数字模型是函数y＝Asinωt，音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数（振幅、频率）有关．我们听到的声音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的函数是y＝sin4x＋sin6x，则该复合音的周期为（　B　）

A．B．π

[解析]　y1＝sin4x的周期是，y2＝sin6x的周期是，所以y＝y1＋y2的周期应为与的公倍数π．

10．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝（　C　）

A．5B．4

C．3D．2

[解析]　如图所示，△ABC中，D是BC边的中点，

由＋＋＝0易知M是△ABC的重心，

∴＋＝2．

又∵＝，

∴＋＝2＝3，∴m＝3，故选C．

11．函数y＝tan（x－）的部分图象如图，则（＋）·

＝（　A　）

A．6B．4

C．－4D．－6

[解析]　∵点B的纵坐标为1，

∴tan（x－）＝1，

∴x－＝，∴x＝3，即B（3,1）．

令tan（x－）＝0，则x－＝0，解得x＝2，

∴A（2,0），∴＋＝（5,1），＝（1,1）．

∴（＋）·

＝6．

12．（2018·

全国卷Ⅱ理，10）若f（x）＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是（　A　）

A．B．

C．D．π

[解析]　f（x）＝cosx－sinx＝－＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，y＝－sin单调递减．

∵函数f（x）在[－a，a]是减函数，

∴[－a，a]⊆，

∴0<

a≤，∴a的最大值为．

故选A．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．（2017全国卷Ⅱ理科）函数f（x）＝sin2x＋cosx－（x∈[0，]）的最大值是__1__．

[解析]　f（x）＝1－cos2x＋cosx－＝－（cosx－）2＋1．

∵x∈[0，]，∴cosx∈[0,1]，

∴当cosx＝时，f（x）取得最大值，最大值为1．

14．已知向量a＝（1,2），b＝（x,1），若a∥b，则实数x＝　　．

[解析]　∵a∥b，∴1－2x＝0.∴x＝．

15．已知e1、e2是平面单位向量，且e1·

e2＝.若平面向量b满足b·

e1＝b·

e2＝1，则|b|＝　　．

[解析]　不妨设b＝xe1＋ye2，则b·

e1＝x＋＝1，

b·

e2＝＋y＝1，因此可得x＝y＝，

所以|b|＝|e1＋e2|＝．

16．关于函数f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x＋），有下列说法：

①y＝f（x）的最大值为；

②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；

③y＝f（x）在区间（，）上单调递减；

④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确说法的序号是__①②③__.（注：

把你认为正确的说法的序号都填上）

[解析]　化简f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x＋－）＝cos（2x－）－sin（2x－）＝cos（2x－），

∴f（x）max＝，即①正确．T＝＝＝π，即②正确．

f（x）的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z）．

即kπ＋≤x≤kπ＋π（k∈Z），即③正确．

将函数y＝cos2x向左平移个单位得

y＝cos[2（x＋）]≠f（x），∴④不正确．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）在△AOB中，C是AB边上的一点，且＝λ（λ>

0），若＝a，＝b．

（1）当λ＝1时，用a、b表示；

（2）用a、b表示．

[解析]　

（1）当λ＝1时，＝，即C是AB的中点，

∴＝（＋）＝a＋b．

（2）∵＝λ，∴＝．

又＝－＝a－b，

∴＝（a－b）．

∴＝＋＝b＋（a－b）

＝a＋b．

18．（本题满分12分）（2018·

浙江卷，18）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P．

（1）求sin（α＋π）的值；

（2）若角β满足sin（α＋β）＝，求cosβ的值．

[解析]　

（1）解：

由角α的终边过点P，

得sinα＝－．

所以sin（α＋π）＝－sinα＝．

（2）解：

得cosα＝－．

由sin（α＋β）＝，得cos（α＋β）＝±

．

由β＝（α＋β）－α，

得cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα，

所以cosβ＝－或cosβ＝．

19．（本题满分12分）已知点A（1,0）、B（0,1）、C（2sinθ，cosθ）．

（1）若||＝||，求的值；

（2）若（＋2）·

＝1，其中O为坐标原点，求sinθ·

cosθ的值．

[解析]　∵A（1,0）、B（0,1）、C（2sinθ，cosθ），

∴＝（2sinθ－1，cosθ），

＝（2sinθ，cosθ－1）．

（1）||＝||，

∴＝，

化简得2sinθ＝cosθ，

∴tanθ＝．

∴＝＝＝－5．

（2）＝（1,0），＝（0,1），＝（2sinθ，cosθ），

∴＋2＝（1,2），

∵（＋2）·

＝1，

∴2sinθ＋2cosθ＝1，

∴（sinθ＋cosθ）2＝，

∴1＋2sinθcosθ＝，

∴sinθcosθ＝－．

20．（本题满分12分）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>

0,0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若tanα＋＝5，求的值．

[解析]　

（1）设最高点为（x1,1），相邻的最低点为（x2，－1），

则|x1－x2|＝（T>

0），

∴＋4＝4＋π2，∴T＝2π＝，又ω>

0，∴ω＝1．

∴f（x）＝sin（x＋φ）．

∵f（x）是偶函数，

∴φ＝kπ＋（k∈Z）．

∵0≤φ≤π，∴φ＝，

∴f（x）＝sin（x＋）＝cosx．

（2）∵tanα＋＝5，

∴＋＝5，

∴sinαcosα＝，

∴＝

＝

＝2sinαcosα＝．

21．（本题满分12分）如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x轴，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限．求OB2的最大值．

[解析]　过点B作BH⊥OA，垂足为H．

设∠OAD＝θ（0<

θ<

），

则∠BAH＝－θ，OA＝2cosθ，

BH＝sin（－θ）＝cosθ，

AH＝cos（－θ）＝sinθ，

所以B（2cosθ＋sinθ，cosθ），

OB2＝（2cosθ＋sinθ）2＋cos2θ＝7＋6cos2θ＋2sin2θ

＝7＋4sin（2θ＋）．

由0<

，知<

2θ＋<

，

所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4．

22．（本题满分12分）已知向量m＝（sinx,1），n＝（4cosx，2cosx），设函数f（x）＝m·

n．

（1）求函数f（x）的解析式．

（2）求函数f（x），x∈[－π，π]的单调递增区间．

（3）设函数h（x）＝f（x）－k（k∈R）在区间[－π，π]上的零点的个数为a，试探求a的值及对应的k的取值范围．

[解析]　

（1）f（x）＝m·

n

＝4sinxcosx＋2cosx

＝2sinx＋2cosx＝4sin（x＋）．

（2）由

（1），知f（x）＝4sin（x＋），

x∈[－π，π]，

所以x＋∈[－，]，

由－≤x＋≤，

解得－≤x≤，

所以函数f（x）的单调递增区间为[－，]．

（3）当x∈[－π，π]时，

函数h（x）＝f（x）－k的零点讨论如下：

当k>

4或k<

－4时，h（x）无零点，a＝0；

当k＝4或k＝－4时，h（x）有一个零点，a＝1；

当－4<

k<

－2或－2<

4时，h（x）有两个零点，a＝2；

当k＝－2时，h（x）有三个零点，a＝3．

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