高中数学竞赛校本教材全套共30讲Word文档下载推荐.docx

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15不等式的应用………………………………………………………………122

16排列，组合………………………………………………………………130

17二项式定理与多项式………………………………………………………………134

18直线和圆，圆锥曲线………………………………………………………………143

19立体图形，空间向量………………………………………………………………161

20平面几何证明………………………………………………………………173

21平面几何名定理………………………………………………………………180

22几何变换………………………………………………………………186

23抽屉原理………………………………………………………………194

24容斥原理………………………………………………………………205

25奇数偶数………………………………………………………………214

26整除………………………………………………………………222

27同余………………………………………………………………230

28高斯函数………………………………………………………………238

29覆盖………………………………………………………………245

29涂色问题………………………………………………………………256

30组合数学选讲………………………………………………………………265

1数学方法选讲

（1）

　　同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解

一、从简单情况考虑

　　华罗庚先生曾经指出：

善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

1.两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。

条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。

谁放入了最后一枚硬币谁获胜。

问：

先放的人有没有必定取胜的策略？

2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。

这时，图中共有1997条互不重叠的线段。

两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？

为什么？

3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。

现在进行1，2报数：

1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。

这个学生的编号是几号？

4．在6×

6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。

然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。

那么，总共至少要涂红多少小方格？

二、从极端情况考虑

　　从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；

对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。

极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。

5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？

6．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。

是否能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A？

7．n（n≥3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。

　　试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。

8．在一个8×

8的方格棋盘的方格中，填入从1到64这64个数。

是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于4？

三、从整体考虑

　　从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。

9．右图是一个4×

4的表格，每个方格中填入了数字0或1。

按下列规则进行“操作”：

每次可以同时改变某一行的数字：

1变成0，0变成1。

能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1？

10．有三堆石子，每堆分别有1998，998，98粒。

现在对这三堆石子进行如下的“操作”：

每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。

　　按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？

如行，请设计一种取石子的方案；

如不行，请说明理由。

11．我们将若干个数x，y，z，…的最大值和最小值分别记为max（x，y，z，…）和min（x，y，z，…）。

已知　　a+b+c+d+e+f+g=1，求min[max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）]

课后练习

1.方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一个自然数解吗？

2.连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。

从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？

3.给出一个自然数n，n的约数的个数用一个记号A（n）来表示。

例如当n=6时，因为6的约数有1，2，3，6四个，所以A（6）=4。

已知a1，a2，…，a10是10个互不相同的质数，又x为a1，a2，…，a10的积，求A（x）。

4.平面上有100个点，无三点共线。

将某些点用线段连结起来，但线段不能相交，直到不能再连结时为止。

是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形，它的内部没有其余97个点中的任何一个点？

5.在一块平地上站着5个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手上都拿着一把水枪。

当发出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。

射击后有没有一个小朋友身上是干的？

6.把1600粒花生分给100只猴子，请你说明不管怎样分，至少有4只猴子分的花生一样多。

7.有两只桶和一只空杯子。

甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。

现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的牛奶多？

　　8.在黑板上写上1，2，3，…，1998。

按下列规定进行“操作”：

每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。

黑板上剩下的数是奇数还是偶数？

课后练习答案

　　1.有。

　　解：

当n=2时，方程x1+x2=x1x2有一个自然数解：

x1=2，x2=2；

　　当n=3时，方程x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解：

x1=1，x2=2，x3=3；

　　当n=4时，方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解：

x1=1，x2=1，x3=2，x4=4。

　　一般地，方程

　　x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn有一个自然数解：

x1=1，x2=1，…，xn-2=1，xn-1=2，xn=n。

　　2.3508。

仿例3。

当有3n个数时，留下的数是1号。

　　小于8899的形如3n的数是38=6561，故从1号开始按规则划数，划了8899-6561=2338（个）数后，还剩下6561个数。

下一个要划掉的数是2388÷

2×

3+1=3507，故最后留下的就是3508。

　　3.1024。

质数a1有2个约数：

1和a，从而A（a1）=2；

　　2个质数a1，a2的积有4个约数：

1，a1，a2，a1a2，从而

　　A（a1×

a2）=4=22；

　　3个质数a1，a2，a3的积有8个约数：

　　1，a1，a2，a3，a1a2，a2a3，a3a1，a1a2a3，

　　从而A（a1×

a2×

a3）=8=23；

　　……

　　于是，10个质数a1，a2，…，a10的积的约数个数为

　　A（x）=210=1024。

　　4.存在。

　　提示：

如果一个三角形内还有别的点，那么这个点与三角形的三个顶点还能连结，与已“不能再连结”矛盾。

　　5.有。

设A和B两人是距离最近的两个小朋友，显然他们应该互射。

此时如果有其他的小朋友射向他们中的一个，即A，B中有一人挨了两枪，那么其他三人中必然有一人身上是干的。

如果没有其他的小朋友射向A或B，那么我们再考虑剩下的三个人D，E，F：

若D，E的距离是三人中最近的，则D，E互射，而F必然射向他们之间的一个，此时F身上是干的。

　　6.假设没有4只猴子分的花生一样多，那么至多3只猴子分的花生一样多。

我们从所需花生最少情况出发考虑：

　　得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只，得33粒花生的猴子有1只，于是100只猴子最少需要分得花生

　　3×

（0+1+2+…+32）+33=1617（粒），

　　现在只有1600粒花生，无法使得至多3只猴子分的花生一样多，故至少有4只猴子分的花生一样多。

　　7.一样多。

从整体看，甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。

甲桶里有多少酒精，就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。

所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。

　　8.奇数。

黑板上开始时所有数的和为

　　S=1+2+3+…+1998=1997001，

　　是一个奇数，而每一次“操作”，将（a+b）变成了（a-b），实际上减少了2b，即减少了一个偶数。

因为从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，所以最后黑板上剩下一个奇数。

例题答案：

1．分析与解：

如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。

然后设想桌面变大，注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的中心，继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。

2．分析：

从最简单的情况考虑：

如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数。

然后我们对这种染色方式进行调整：

将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。

由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染