环境水利学第5章-污染物在河流中的混合--(8)PPT课件PPT文件格式下载.ppt

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c1为无降解时污染带基本方程的解可以证明式有降解情况下的解为,使用反证法：

将式（5-6-5）对x求偏导数，有,（5-6-4）,（5-6-5）,（5-6-6）,再将式（5-6-5）对y求两次偏导数，有,（5-6-7）,无降解情形,第五节河流中非守恒物质污染带的计算,（5-6-8）,（5-6-9）,无降解情形,第五节河流中非守恒物质污染带的计算,可以证明:

对在前几节中所介绍的污染带都是成立的，于是可以得到一阶降解污染带的各种解析解：

1、矩形河道均匀流的污染带

（1）时间连续点源问题（未受岸壁反射时），根据式（5-2-2a）和式（5-6-5），有解,

（2）时间连续点源问题（受岸壁反射时），根据式（5-2-4b）和式（5-6-5），有解,（5-6-10）,（5-6-11）,第五节河流中非守恒物质污染带的计算,（3）时间连续线源问题，根据式（5-4-3）和式（5-6-5），有解,（5-6-15）,第五节河流中非守恒物质污染带的计算,例：

有一近似矩形均匀流的河段，河宽为150m，水深为3m，流量为212.5m3/s。

有一污水扩散器长30m，自岸边开始横置于水平。

污水流量为0.43m3/s，污水中含有大肠杆菌，浓度为106个/100mL。

在同岸下游24.1km处有一游泳场，在对岸下游16.1km处有一自来水吸水点。

大肠杆菌的自然衰减系数kd=10d-1，横向混合系数My=0.0398m2/s。

问游泳场和吸水点处的大肠杆菌浓度各是多少？

第五节河流中非守恒物质污染带的计算,图污染源排放示意图,解：

计算公式为：

因y01=0，公式简化为,其中,第五节河流中非守恒物质污染带的计算,令,则,根据上式计算游泳场和吸水点的大肠杆菌浓度，计算过程和结果见表。

第五节河流中非守恒物质污染带的计算,表污染带浓度计算,第五节河流中非守恒物质污染带的计算,第六节河道均匀流远区稳态浓度场的解析解,前面讨论的污染带都是稳态的，紧接在污染带下游就是远区，所以此时在远区的一维纵向分散浓度场必然是稳态的。

为了能求得解析解，假设水流为均匀流，可以根据一维纵向分散方程进行求解，式中的Ca/t=0，并应在式中右边加上汇项，即降解项（-kdCa）：

（5-8-1）,远区的长度是很长的，对非保守物质来说，有足够长的时间发生降解，在对远区进行分析计算时，一定要计及其降解作用。

因为在远区的始断面上已达到均匀混合，因此有边界条件：

当x=0，Ca=Cm=QdCd/Q，Qd和Cd分别为上游污染源的污水流量和浓度，Q为河流流量；

另一边界条件是当x，Ca=0。

设式解的形式为Ca=Aexp（bx）（5-8-2）式中A和b均为常数，将上式代入式（5-8-1），有Kb2-Vb-kd=0由式解得,（5-8-3）,第六节河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,式中,（5-8-6）,其中,由式（5-8-3）的两个，根据式Ca=Aexp（x）得通解,（5-8-4）,（5-8-5）,第六节河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,利用上述边界条件:

x=0,Ca=cm=QdCd/Q；

x，Ca=0可得A1=0,A2=cm,代入式（5-8-6）可解,（5-8-7c）,或以式（5-8-4）代入上式，得,如果再以式（5-8-5）中的K代入上式，得,（5-8-7a）,（5-8-7b）,第六节河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,在河流中一般有a1，即a0，则有,式（5-7-7c）变为,上式不存在分散系数K，这表明在一维纵向分散的稳态浓度场的值主要取决于降解作用，分散作用可以不计。

该结果也可以通过在式（5-8-1）中忽略分散项所求得的解正是式（5-8-8）而得到证实。

（5-8-8）,第六节河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,解：

由式（5-2-9）计算带长系数K，其中y01=0，y02=30m，则,例：

有一河道均匀流,河宽W=118m,平均水深=1.94m，断面平均流速V=0.65m/s。

污水通过扩散器在河水中排放，扩散器长30m，一端靠左岸，横放在水中，污水流量Qd=0.43m3/s，污水浓度cd=450mg/L，横向混合系数My=0.32m2/s，降解系数kd=0.6d-1。

问距扩散器多远才开始是远区？

远区下游2km处的断面平均浓度Ca是多少？

（在初始段中暂不考虑降解）,第六节河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,由式（5-2-7）求带长,即离源点下游3324m开始进入远区。

远区起始断面的浓度为均匀混合的浓度，故有,由式（5-8-8）得远区下游2km处的断面平均浓度,第六节河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,第七节河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,一、瞬时点源的远区动态情形设污染源为瞬时点源，假设忽略了河流混合过程的第一、二阶段，直接进入远区的计算。

本问题的控制方程是一维纵向分散方程，并在式中右边加上降解项，即,（5-9-1）,初始条件：

Ca（x,0）=md（x）边界条件：

Ca（,t）=0。

利用类似于在本章第六节中的解法，得到本问题的解为：

（5-9-2）,第七节河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,二、时间连续恒定点源的远区动态情形设污染源为恒定的时间连续源，假设忽略了河流混合过程的第一、二阶段，直接进入远区的计算。

本问题的控制方程是：

初始条件：

Ca（x,0）=0边界条件：

Ca（0,t）=c0（常数），Ca（,t）=0。

采用拉普拉斯变换法求解：

将变换定义,用于式（5-9-1）有,根据拉普拉斯变换：

df（t）/dtSF（s）-f（O+），上式变为,（5-9-3）,上式为关于函数F的方程，通解为,（5-9-4）,以边界条件Ca（,t）=0，F=0代入式上式，并注意到,有B（S）=0,第七节河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,（5-9-5）,又由Ca（0，t）=c0，根据拉普拉斯变换：

e-atf（t）F（s+a）有A（S）=c0/S于是式（5-9-4）变为,对上式进行逆变换，有,式中：

（5-9-6）,第七节河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,（5-9-7）,式中：

a=4Kkd/V2当t，式（5-9-7）变为：

据拉普拉斯变换：

经简化可得解,第七节河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,与一维稳态解相同,第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,对河道均匀流远区动态浓度场，当初始条件和边界条件较为复杂时就不存在解析解，此时要采用数值解法。

对河道非均匀流远区动态浓度场，由于断面平均流速和过水断面等均是时间和位置的函数，也不存在解析解，必须采用数值解法。

在用数值解求解中较为常用的离散方法有：

有限差分法（FDM）、有限单元法（FEM）、有限体积法（FVM）、边界单元法（BEM）、特征法（MOC）和有限分析法（FAM）等。

差分法简介,所谓差分方法就是把偏微分方程中的微分用差分来代替，然后求得差分方程的解，并以此作为偏微分方程解的近似解。

第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,计算范围为x1（起始断面）至xm（河道末断面），时间t的计算范围为t0（初始时刻）至tT（终止时刻）。

在x轴上，将河长划分为（m1）段，通常为不等距划分，每段长为xi，称距离步长。

在t轴上，将区间（t0，tT）分成T段（通常是等距划分），每段长为t，称为时间步长。

差分网格示意图,第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,在分段点上分别作平行于x轴或t轴的直线，便可将求解区域xt分成许多个矩形网格。

网格上的交点称为节点（或网点），任一节点均可写出相应的坐标，如节点P的坐标为（xi,tn），相应于P点上的浓度值可写为C（xi,tn）,也可简写为Cin，并称它们为节点函数。

差分网格示意图,差分网格划分后，便可在网格点上建立与偏微分方程相对应的差分方程，求解差分方程。

事先给定初始条件（即t=t0时，x轴上各点的函数值是已知的）与边界条件（即在x=x1和x=xm的竖线上，各时刻所对应的节点函数值是已知的）。

第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,差分网格示意图,然后据t0时刻的初始值与t1时刻的边界值，求算t1时刻各内点（边界节点之外的节点称内节点，简称内点）的函数值，再据t1时刻各节点的函数值与时刻t2的边界值，求算t2时刻的内点函数值，直至tT时刻的内点函数值计算完毕后才终止。

用差分法求解偏微分方程，实际上是用解区域xt中的有限节点上的函数值，如Cin来近似表征解区域上的连续解c（x，t）。

第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,差分网格示意图,差分方法：

以一阶偏微分为例，如记t的增量为t，可以有三种差分形式来近似代替它：

第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,

（1）向前差分，或顺差,（3）向后差分，或逆差,

（2）中心差分,来说，它是一阶偏微分的偏微分，,对于二阶偏微分,自然可用一阶差分的差分来近似它，一般采用下列形式：

第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,用差分代替偏微分，必然会带来一定的误差。

因此，必须对误差大小进行估计。

以二元函数c（x,t）为例，并假定它具有各阶导数，那么由泰勒公式有：

第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,于是有,（一阶逼近精度）,（一阶逼近精度）,（二阶逼近精度）,（二阶逼近精度）,第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,来代替，其截断误差均是与t2同阶的无穷小量（称这为二阶逼近精度）。

由此可见，所取的差分形式不同，用它们近似偏微分所引起的误差大小也不同。

这个误差可用泰勒展开式中的无穷小项所表示，故称为截断误差。

由上面的推导可知，用顺差或逆差来代替一阶偏微分时，截断误差在t0时是与t同阶的无穷小量（称之为具有一阶逼近精度），用中心差分来代替一阶偏微分及用,第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,由于差分有三种形式，故同一个偏微分可以用不同的差分表示，因此一个偏微分方程也就可以用几种不同的差分方程所代替。

为衡量差分方程的好坏，通常要对差分方程的相容性、收敛性与稳定性进行考察。

相容性是指当空间和时间步长趋于零时，截断误差也趋于零，差分方程的极限形式就是其所对应的偏微分方程。

否则，就称差分方程不相容。

相容性表示差分方程“收敛”于微分方程，是差分方程必需具备条件。

收敛性是指差分方程的解，当空间步长与时间步长趋于零时，收敛于原偏微分方程的解。

收敛性是数值计算追求的最终目标。

第八节河道恒定流远区动态浓度场的数值解,差分解法是以逐步推进的方式进行的，它常常需要初始值作为主要定解条件。

由于初始值是由观测或者推算出来的物理量，不可避免地会存在误差。

计算机在计算时，由于字长的限制，计算数据也会存在舍入误差。

这些误差在差分计算的推进过程中，会逐步积累。

如果误差积累能保持有界，就称差分方程的数