1、c1为无降解时污染带基本方程的解可以证明式有降解情况下的解为,使用反证法:将式(5-6-5)对x求偏导数,有,(5-6-4),(5-6-5),(5-6-6),再将式(5-6-5)对y求两次偏导数,有,(5-6-7),无降解情形,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,(5-6-8),(5-6-9),无降解情形,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,可以证明:对在前几节中所介绍的污染带都是成立的,于是可以得到一阶降解污染带的各种解析解:,1、矩形河道均匀流的污染带(1)时间连续点源问题(未受岸壁反射时),根据式(5-2-2a)和式(5-6-5),有解,(2)时间连续点源问题(受岸壁反射时),根据式
2、(5-2-4b)和式(5-6-5),有解,(5-6-10),(5-6-11),第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,(3)时间连续线源问题,根据式(5-4-3)和式(5-6-5),有解,(5-6-15),第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,例:有一近似矩形均匀流的河段,河宽为150m,水深为3m,流量为212.5m3/s。有一污水扩散器长30m,自岸边开始横置于水平。污水流量为0.43m3/s,污水中含有大肠杆菌,浓度为 106 个/100 mL。在同岸下游 24.1 km 处有一游泳场,在对岸下游 16.1 km处有一自来水吸水点。大肠杆菌的自然衰减系数 kd=10d-1,横向混合系数My
3、=0.0398m2/s。问游泳场和吸水点处的大肠杆菌浓度各是多少?,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,图 污染源排放示意图,解:计算公式为:,因y01=0,公式简化为,其中,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,令,则,根据上式计算游泳场和吸水点的大肠杆菌浓度,计算过程和结果见表。,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,表 污染带浓度计算,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,第六节 河道均匀流远区稳态浓度场的解析解,前面讨论的污染带都是稳态的,紧接在污染带下游就是远区,所以此时在远区的一维纵向分散浓度场必然是稳态的。为了能求得解析解,假设水流为均匀流,可以根据一维纵向分散方程进行求解,式
4、中的Ca/t=0,并应在式中右边加上汇项,即降解项(-kdCa):,(5-8-1),远区的长度是很长的,对非保守物质来说,有足够长的时间发生降解,在对远区进行分析计算时,一定要计及其降解作用。,因为在远区的始断面上已达到均匀混合,因此有边界条件:当x=0,Ca=Cm=QdCd/Q,Qd 和Cd 分别为上游污染源的污水流量和浓度,Q为河流流量;另一边界条件是当x,Ca=0。设式 解的形式为 Ca=Aexp(bx)(5-8-2)式中A 和b 均为常数,将上式代入式(5-8-1),有 Kb2-Vb-kd=0 由式解得,(5-8-3),第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,式中,(5-8-6),其
5、中,由式(5-8-3)的两个,根据式Ca=Aexp(x)得通解,(5-8-4),(5-8-5),第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,利用上述边界条件:x=0,Ca=cm=QdCd/Q;x,Ca=0 可得A1=0,A2=cm,代入式(5-8-6)可解,(5-8-7c),或以式(5-8-4)代入上式,得,如果再以式(5-8-5)中的K代入上式,得,(5-8-7a),(5-8-7b),第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,在河流中一般有 a 1,即 a0,则有,式(5-7-7c)变为,上式不存在分散系数K,这表明在一维纵向分散的稳态浓度场的值主要取决于降解作用,分散作用可以不计。该结果也可
6、以通过在式(5-8-1)中忽略分散项所求得的解正是式(5-8-8)而得到证实。,(5-8-8),第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,解:由式(5-2-9)计算带长系数K,其中y01=0,y02=30m,则,例:有一河道均匀流,河宽W=118m,平均水深=1.94m,断面平均流速V=0.65m/s。污水通过扩散器在河水中排放,扩散器长30m,一端靠左岸,横放在水中,污水流量Qd=0.43m3/s,污水浓度cd=450mg/L,横向混合系数My=0.32m2/s,降解系数kd=0.6d-1。问距扩散器多远才开始是远区?远区下游2km处的断面平均浓度 Ca是多少?(在初始段中暂不考虑降解),第
7、六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,由式(5-2-7)求带长,即离源点下游3324m开始进入远区。,远区起始断面的浓度为均匀混合的浓度,故有,由式(5-8-8)得远区下游2km处的断面平均浓度,第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,一、瞬时点源的远区动态情形 设污染源为瞬时点源,假设忽略了河流混合过程的第一、二阶段,直接进入远区的计算。本问题的控制方程是一维纵向分散方程,并在式中右边加上降解项,即,(5-9-1),初始条件:Ca(x,0)=md(x)边界条件:Ca(,t)=0。,利用类似于在本章第六节中的解法,得到本问题的解为:,(5-9-
8、2),第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,二、时间连续恒定点源的远区动态情形 设污染源为恒定的时间连续源,假设忽略了河流混合过程的第一、二阶段,直接进入远区的计算。本问题的控制方程是:初始条件:Ca(x,0)=0边界条件:Ca(0,t)=c0(常数),Ca(,t)=0。采用拉普拉斯变换法求解:将变换定义,用于式(5-9-1)有,根据拉普拉斯变换:df(t)/dtSF(s)-f(O+),上式变为,(5-9-3),上式为关于函数F的方程,通解为,(5-9-4),以边界条件Ca(,t)=0,F=0代入式上式,并注意到,有B(S)=0,第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,(5-9-
9、5),又由Ca(0,t)=c0,根据拉普拉斯变换:e-atf(t)F(s+a)有A(S)=c0/S 于是式(5-9-4)变为,对上式进行逆变换,有,式中:,(5-9-6),第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,(5-9-7),式中:a=4Kkd/V2当t,式(5-9-7)变为:,据拉普拉斯变换:,经简化可得解,第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,与一维稳态解相同,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,对河道均匀流远区动态浓度场,当初始条件和边界条件较为复杂时就不存在解析解,此时要采用数值解法。对河道非均匀流远区动态浓度场,由于断面平均流速和过水断面等均是时间和位置的函数,
10、也不存在解析解,必须采用数值解法。,在用数值解求解中较为常用的离散方法有:有限差分法(FDM)、有限单元法(FEM)、有限体积法(FVM)、边界单元法(BEM)、特征法(MOC)和有限分析法(FAM)等。,差分法简介,所谓差分方法就是把偏微分方程中的微分用差分来代替,然后求得差分方程的解,并以此作为偏微分方程解的近似解。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,计算范围为x1(起始断面)至xm(河道末断面),时间t的计算范围为t0(初始时刻)至tT(终止时刻)。在x轴上,将河长划分为(m1)段,通常为不等距划分,每段长为xi,称距离步长。在t轴上,将区间(t0,tT)分成T段(通常是等距划分
11、),每段长为t,称为时间步长。,差分网格示意图,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,在分段点上分别作平行于x轴或t轴的直线,便可将求解区域xt分成许多个矩形网格。网格上的交点称为节点(或网点),任一节点均可写出相应的坐标,如节点P的坐标为(xi,tn),相应于P点上的浓度值可写为C(xi,tn),也可简写为Cin,并称它们为节点函数。,差分网格示意图,差分网格划分后,便可在网格点上建立与偏微分方程相对应的差分方程,求解差分方程。事先给定初始条件(即t=t0时,x轴上各点的函数值是已知的)与边界条件(即在x=x1和x=xm的竖线上,各时刻所对应的节点函数值是已知的)。,第八节 河道恒定流远
12、区动态浓度场的数值解,差分网格示意图,然后据t0时刻的初始值与t1时刻的边界值,求算t1时刻各内点(边界节点之外的节点称内节点,简称内点)的函数值,再据t1时刻各节点的函数值与时刻t2的边界值,求算t2时刻的内点函数值,直至tT时刻的内点函数值计算完毕后才终止。用差分法求解偏微分方程,实际上是用解区域xt中的有限节点上的函数值,如Cin来近似表征解区域上的连续解c(x,t)。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,差分网格示意图,差分方法:以一阶偏微分 为例,如记t的增量为t,可以有三种差分形式来近似代替它:,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,(1)向前差分,或顺差,(3)向后差分
13、,或逆差,(2)中心差分,来说,它是一阶偏微分的偏微分,,对于二阶偏微分,自然可用一阶差分的差分来近似它,一般采用下列形式:,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,用差分代替偏微分,必然会带来一定的误差。因此,必须对误差大小进行估计。以二元函数c(x,t)为例,并假定它具有各阶导数,那么由泰勒公式有:,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,于是有,(一阶逼近精度),(一阶逼近精度),(二阶逼近精度),(二阶逼近精度),第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,来代替,其截断误差均是与t2同阶的无穷小量(称这为二阶逼近精度)。,由此可见,所取的差分形式不同,用它们近似偏微分所引起的误差大
14、小也不同。这个误差可用泰勒展开式中的无穷小项所表示,故称为截断误差。由上面的推导可知,用顺差或逆差来代替一阶偏微分时,截断误差在t0时是与t同阶的无穷小量(称之为具有一阶逼近精度),用中心差分来代替一阶偏微分及用,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,由于差分有三种形式,故同一个偏微分可以用不同的差分表示,因此一个偏微分方程也就可以用几种不同的差分方程所代替。为衡量差分方程的好坏,通常要对差分方程的相容性、收敛性与稳定性进行考察。相容性是指当空间和时间步长趋于零时,截断误差也趋于零,差分方程的极限形式就是其所对应的偏微分方程。否则,就称差分方程不相容。相容性表示差分方程“收敛”于微分方程,是差分方程必需具备条件。收敛性是指差分方程的解,当空间步长与时间步长趋于零时,收敛于原偏微分方程的解。收敛性是数值计算追求的最终目标。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,差分解法是以逐步推进的方式进行的,它常常需要初始值作为主要定解条件。由于初始值是由观测或者推算出来的物理量,不可避免地会存在误差。计算机在计算时,由于字长的限制,计算数据也会存在舍入误差。这些误差在差分计算的推进过程中,会逐步积累。如果误差积累能保持有界,就称差分方程的数
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