专题14整式乘法精讲精练解析版苏科版文档格式.docx

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多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．

4.整式除法：

（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；

对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．

关注：

从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：

①系数相除；

②同底数幂相除；

③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．

（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

说明：

多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．

5.完全平方公式：

（1）完全平方公式：

（a±

b）2=a2±

2ab+b2．

可巧记为：

“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

（2）完全平方公式有以下几个特征：

①左边是两个数的和的平方；

②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；

其符号与左边的运算符号相同．

（3）应用完全平方公式时，要注意：

①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；

②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；

③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．

6.平方差公式

（1）平方差公式：

两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

（a+b）（a-b）=a2-b2

（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．

【典例剖析】

考点1单项式乘单项式

【例1】

（2019春•金坛区期中）计算：

3x•2x2＝___________．

【分析】利用单项式乘单项式的法则计算即可．

【解析】3x•2x2＝6x3．

故答案为6x3．

【点睛】本题考查了单项式乘单项式：

【变式1-1】

（2019春•阜宁县期中）若单项式﹣6x2ym与xn﹣1y3是同类项，那么这两个单项式的积是___________．

【分析】根据同类项的概念分别求出m、n，根据单项式乘单项式的运算法则计算，得到答案．

【解析】由题意得，n﹣1＝2，m＝3，

则n＝3，

﹣6x2y3•x2y3＝﹣3x4y6，

故答案为：

﹣3x4y6．

【点睛】本题考查的是单项式乘单项式、同类项的概念，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．

【变式1-2】

（2019春•淮安区期中）计算2x3y•3x2的结果是___________．

【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．依此即可求解．

【解析】2x3y•3x2＝6x5y．

6x5y．

【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，注意：

【变式1-3】

（2019春•滨湖区期中）计算：

（3×

105）×

（8×

105）＝___________．（结果用科学记数法表示）

【分析】根据单项式乘单项式的法则计算后，运用科学记数法表示即可．

【解析】

105）

＝24×

1010

＝2.4×

1011．

2.4×

【点睛】本题考查了单项式的乘法．牢记法则是解题的关键．单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．也考查了科学记数法．

考点2单项式乘多项式

【例2】

（2019春•南京期中）若3x（x+1）＝mx2+nx，则m+n＝___________．

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．

【解析】∵3x（x+1）＝3x2+3x，

∴m＝3，n＝3，

∴m+n＝6，

6

【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．

【变式2-1】

（2019春•姑苏区期中）计算：

2m2•（m2+n﹣1）＝___________．

【分析】单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

【解析】2m2•（m2+n﹣1）＝2m2•m2+2m2•n﹣2m2＝2m4+2m2n﹣2m2，

2m4+2m2n﹣2m2．

【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，应注意以下几个问题：

【变式2-2】

（2019春•常德期中）计算：

﹣2a2（a﹣3ab）＝___________．

【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．依此计算即可求解．

【解析】﹣2a2（a﹣3ab）＝﹣2a3+6a3b．

﹣2a3+6a3b．

【点睛】此题考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

【变式2-3】

（2019春•天宁区校级期中）一个长方体的长为3x+1，宽为2x，高为3x，则它的表面积为___________．

【分析】直接利用长方体表面积求法以及结合单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式运算法则分别计算得出即可．

【解析】∵一个长方体的长为3x+1，宽为2x，高为3x，

∴它的表面积为：

2（3x+1）•2x+2•2x•3x+2•3x•（3x+1）

＝12x2+4x+12x2+18x2+6x

＝42x2+10x．

42x2+10x．

【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．

【变式2-4】

（2018春•邗江区期中）已知a2﹣a﹣3＝0，那么a2（a﹣4）的值是___________．

【分析】直接利用已知变形，进而代入原式求出答案．

【解析】∵a2﹣a﹣3＝0，

∴a2＝a+3，a2﹣a＝3

∴a2（a﹣4）＝（a+3）（a﹣4）

＝a2﹣a﹣12

＝3﹣12

＝﹣9．

﹣9．

【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确将原式变形是解题关键．

考点3多项式乘多项式

【例3】

（2019秋•海安市期中）若（x+3）（x﹣4）＝x2+px+q，那么p+q的值是___________．

【分析】直接利用多项式乘法运算法则计算得出答案．

【解析】∵（x+3）（x﹣4）＝x2+px+q，

∴x2﹣x﹣12＝x2+px+q，

∴p＝﹣1，q＝﹣12，

则p+q＝﹣1﹣12＝﹣13．

﹣13．

【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．

【变式3-1】

（2019春•玄武区校级期中）已知多项式x2+ax﹣4恰等于两个多项式x+1和x+n的积，则an＝___________．

【分析】先计算出（x+1）（x+n）＝x2+（n+1）x+n，根据x2+ax﹣4＝x2+（n+1）x+n得出n、a的值，代入计算可得．

（x+1）（x+n）

＝x2+（n+1）x+n，

由题意知a＝n+1，n＝﹣4，

则a＝﹣3，

所以an＝（﹣3）﹣4，

．

【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．

【变式3-2】

（2019春•铜山区期中）计算：

（x﹣2）（3x﹣1）＝___________．

【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可．

（x﹣2）（3x﹣1）

＝3x2﹣x﹣6x+2

＝3x2﹣7x+2，

3x2﹣7x+2．

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键．

【变式3-3】

（2019春•梁溪区期中）若（x+a）（x+5）的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝___________．

（x+a）（x+5）＝x2+（5+a）x+5a，

由于结果中不含关于字母x的一次项，

故5+a＝0，

∴a＝﹣5，

﹣5

【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

【变式3-4】

（2019春•南京期中）如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为___________．

【分析】把式子展开，找到x2项的所有系数，令其为0，可求出m的值．

（x﹣2）（x2+3mx﹣m）

＝x3+3mx2﹣mx﹣2x2﹣6mx+2m

＝x3+（3m﹣2）x2﹣7mx+2m

∵乘积中不含x2项，

∴3m﹣2＝0，

解得m．

【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

考点4完全平方公式

【例4】

（2019春•江宁区期中）若a+b＝﹣4，ab，则a2+b2的值为___________．

【分析】先根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入求出即可．

【解析】∵a+b＝﹣4，ab，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×

（）＝17，

17．

【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：

（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．

【变式4-1】

（2019春•东台市期中）若m+n＝3，mn，则m﹣n＝___________．

【分析】利用m﹣n＝±

解答．

【解析】∵m+n＝3，mn，

∴m﹣n＝±

±

2．

故答案是：

【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．

【变式4-2】

（2019春•鼓楼区期中）（______+2a）2＝4a2+4a+1．

【分析】根据因式分解的完全平方公式：

a2+2ab+b2＝（a+b）2可知1+4a+4a2＝12+2×

1×

2a+（2a）2＝（1+2a）2，再由整式乘法与因式分解的关系，问题得解．

【解析】∵1+4a+4a2＝12+2×

2a+（