届高考数学一轮复习第四章三角函数层级快练26文Word文件下载.docx

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陕西西安一中期中）在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是（　　）

A．（0，]B．[，π）

C．（0，]D．[，π）

答案　C

解析　∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，∴bc≤b2＋c2－a2.∴cosA＝≥，∴A≤.∵A>

0，∴A的取值范围是（0，]．故选C.

4．（2018·

广东惠州三调）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为（　　）

A.＋1B.－1

C．4D．2

解析　由正弦定理＝，得sinB＝＝.又c>

b，且B∈（0，π），所以B＝，所以A＝，所以S＝bcsinA＝×

2sin＝×

×

＝＋1.故选A.

5．（2018·

东北八校联考）已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，，1，则cosA＝（　　）

A.B．－

C．－D．－

解析　设△ABC的面积为S，则a＝4S，B＝2S，c＝2S，因此cosA＝＝－.故选C.

6．（2016·

山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1－sinA）．则A＝（　　）

A.B.

C.D.

解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2（1－sinA）＝2b2（1－cosA），所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0<

A<

π，所以A＝.

7．（2014·

江西，文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则的值为（　　）

A．－B.

C．1D.

答案　D

解析　由正弦定理可得＝2（）2－1＝2（）2－1，因为3a＝2b，所以＝，所以＝2×

（）2－1＝.

8．（2018·

安徽合肥检测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a－b）（sinA＋sinB）＝（c－b）sinC.若a＝，则b2＋c2的取值范围是（　　）

A．（3，6]B．（3，5）

C．（5，6]D．[5，6]

解析　∵（a－b）（sinA＋sinB）＝（c－b）sinC，∴由正弦定理得（a－b）（a＋b）＝（c－b）c，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝，∴A＝，∴B＋C＝.又△ABC为锐角三角形，

∴解得<

B<

.

由正弦定理＝＝＝＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，

∴b2＋c2＝4（sin2B＋sin2C）＝4[sin2B＋sin2（－B）]＝4－2cos（2B＋）．又<

，∴<

2B＋<

，

可得b2＋c2∈（5，6]．故选C.

9．在△ABC中，若AB＝，AC＝1，B＝30°

，则△ABC的面积为________．

答案　或

解析　如图所示，由正弦定理，得sinC＝＝.而c>

b，

∴C＝60°

或C＝120°

∴A＝90°

或A＝30°

∴S△ABC＝bcsinA＝或.

10．（2018·

河南信阳调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S＝（a2＋b2－c2），则C的大小为________．

答案　

解析　∵△ABC的面积为S＝absinC，

∴由S＝（a2＋b2－c2），得（a2＋b2－c2）＝absinC，

即absinC＝（a2＋b2－c2）．根据余弦定理，得a2＋b2－c2＝2abcosC，

∴absinC＝×

2abcosC，得sinC＝cosC，即tanC＝＝.

∵C∈（0，π），∴C＝.

11．（2017·

甘肃定西统考）在△ABC中，若＝，则△ABC的形状为________．

答案　等腰三角形或直角三角形

解析　由正弦定理，得＝，即＝·

.∵sinA>

0，sinB>

0，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.∴2A＝2kπ＋2B或2A＝2kπ＋π－2B（k∈Z）．∵0<

π，0<

π，∴k＝0，则A＝B或A＝－B.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

12．（2018·

河北唐山一模）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°

，则cosB＝________．

解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.

∴2sinB＝sinA＋sinC.

∵A－C＝90°

，∴2sinB＝sin（90°

＋C）＋sinC.

∴2sinB＝cosC＋sinC.

∴2sinB＝sin（C＋45°

）．①

∵A＋B＋C＝180°

且A－C＝90°

，∴C＝45°

－，代入①式中，2sinB＝sin（90°

－）．

∴2sinB＝cos.

∴4sincos＝cos.

∴sin＝.

∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.

13．（2018·

广东揭阳一模）在△ABC中，∠B＝，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝________．

解析　如图，过点C作CE⊥AB于E.设∠A＝∠ACD＝θ，则∠CDB＝2θ.在Rt△AEC中，CE＝sinθ，则在Rt△CED中，DE＝－＝－.

在Rt△CEB中，BE＝＝sinθ.由BD＝1，得＋sinθ＝1⇒sinθcos2θ＋sinθsin2θ＝sin2θ⇒cos2θ＋sin2θ＝2cosθ⇒cosθ＝cos（2θ－）⇒2θ－＝±

θ⇒θ＝或.

14．（2017·

北京，理）在△ABC中，∠A＝60°

，c＝a.

（1）求sinC的值；

（2）若a＝7，求△ABC的面积．

答案　

（1）　

（2）6

解析　

（1）根据正弦定理：

＝⇒sinC＝＝×

sin60°

＝×

＝.

（2）当a＝7时，c＝a＝3<

a，又sinC＝，∴cosC＝＝.

在△ABC中，sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC

＋×

＝，∴S△ABC＝ac×

sinB＝×

7×

3×

＝6.

15．（2018·

河南豫南九校质量考评）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，且b＝4.

（1）求角B；

（2）求△ABC面积的最大值．

答案　

（1）　

（2）4

解析　

（1）根据题意，由余弦定理得＝，再由正弦定理得＝，整理得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，

∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB.

即sin（B＋C）＝2sinAcosB，又sin（B＋C）＝sinA≠0，

∴cosB＝.∵B∈（0，π），∴B＝.

（2）由b2＝a2＋c2－2accosB，得16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，

∴ac≤16，当且仅当a＝c＝4时取等号．

则△ABC的面积S＝acsinB≤×

16×

sin＝4，即△ABC面积的最大值为4.

16．（2017·

课标全国Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin2.

（1）求cosB；

（2）若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.

答案　

（1）　

（2）2

解析　

（1）依题意，得sinB＝8sin2＝8·

＝4（1－cosB）．

∵sin2B＋cos2B＝1，∴16（1－cosB）2＋cos2B＝1，

∴（17cosB－15）（cosB－1）＝0，∴cosB＝.

（2）由

（1）可知sinB＝.

∵S△ABC＝2，∴ac·

sinB＝2，

∴ac·

＝2，∴ac＝.

∵cosB＝，∴＝，

∴a2＋c2－b2＝15，∴（a＋c）2－2ac－b2＝15，

∴36－17－b2＝15，∴b＝2.

17．（2018·

福建高中毕业班质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosC－c＝2a.

（1）求B的大小；

（2）若a＝3，且AC边上的中线长为，求c的值．

答案　

（1）　

（2）5

解析　

（1）∵2bcosC－c＝2a，∴由余弦定理得2b·

－c＝2a，

化简得a2＋c2－b2＝－ac，∴cosB＝＝－.

∵B∈（0，π），∴B＝.

（2）由

（1）可得b2＝a2＋c2＋ac＝c2＋3c＋9.①

又cosC＝，②

取AC的中点D，连接BD，在△CBD中，cosC＝＝，③

由②③得2c2－b2＝1.④

由①④得c2－3c－10＝0，解得c＝5或c＝－2（舍去），∴c＝5.

18．（2018·

衡水中学调研卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.

（1）求角A的大小；

（2）若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）方法一：

由题设知，2sinBcosA＝sin（A＋C）＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝.

由于0<

π，故A＝.

方法二：

由题设可知，2b·

＝a·

＋c·

，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝.

（2）方法一：

因为2＝（）2＝（2＋2＋2·

）＝（1＋4＋2×

1×

cos）＝，

所以||＝，从而AD＝.

因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×

＝3，

所以a2＋c2＝b2，B＝.

因为BD＝，AB＝1，所以AD＝＝.

（第二次作业）

1．（2015·

广东，文）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b<

c，则b＝（　　）

A．3B．2

C．2D.

解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒（b－2）（b－4）＝0，由b<

c，得b＝2.

2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°

，则BC边上的高等于（　　）

解析　由余弦定理，得（）2＝22＋AB2－2×

2ABcos60°

，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3.故BC边上的高是ABsin60°

＝.选B.

北京西城期末）已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°

，则A等于（　　）

A．150°

B．90°

D．30°

解析　由正弦定理，得＝，得sinA＝.

又a<

b，∴A<

B＝45°

.∴A＝30°

，故选D.

安徽合肥模拟）在△ABC中，A＝60°

，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）

C．2D．2

解析　因为S＝AB·

ACsinA＝×

AC＝，所以AC＝1，

所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·

ACcos60°

＝3.

所以BC＝.

5．在△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．以上均有可能

解析　由题意可知c>

a，c>

b，即角C最大，所以a3＋b3＝a·

a2＋b·

b2<

ca