名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习46三角函数的图象和性质含答案解析Word格式.docx
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所以M=-,m=-,
所以M+m=-2.
正弦、余弦、正切函数的性质
解析式
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
值域
[-1,1]
零点
x=kπ,k∈Z
x=kπ+,k∈Z
对称轴
无
周期性
T=2π
T=π
单调
增区间
(k∈Z)
[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
减区间
[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)
【要点导学】
要点导学 各个击破
三角函数的定义域与值域
例1
(1)函数y=+lg(2sinx-1)的定义域为 .
(2)函数y=的值域为 .
【思维引导】
(1)函数有意义的条件是被开方数非负,真数大于0,以及分母非零.
(2)本小题是由三角函数构成的一次分式函数,考查三角函数与一次分式函数的性质,可以利用sinx的有界性和一次分式函数y=的有关性质求解.
(1)(k∈Z)
(2)
【解析】
(1)由题意得解得
所以
即x∈(k∈Z).
(2)因为y==1-,所以当sinx=-1时,ymin=1+=,所以值域为.
【精要点评】
(1)通过列不等式组得到关于x的不等式,即可求出函数的定义域.
(2)还可以将sinx表示为y的函数:
sinx=(y≠1),利用sinx的有界性,即可得到-1≤<
1,从而求出y的取值范围.
变式
(1)函数y=lgsinx+的定义域为 .
(1)
(2)∪[3,+∞)
(1)由2kπ<
x≤+2kπ,k∈Z.
(2)方法一:
易得y==1+.
因为-1≤cosx≤1,所以y≤或y≥3,
故函数的值域为∪[3,+∞).
方法二:
由题意得cosx=.因为-1≤cosx≤1,所以-1≤≤1,解得y≤或y≥3,
所以函数的值域为∪[3,+∞).
例2 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.
【思维引导】注意到sinx+cosx与sinxcosx两者之间的关系,可设sinx+cosx=t,则有sinxcosx=,从而得到关于t的二次函数,注意变量t的取值范围.
【解答】设sinx+cosx=t,-≤t≤,且sinxcosx=,
所以y=+t==,
所以当t=-1时,ymin=-1;
当t=时,ymax=+.
故所求函数的值域为.
【精要点评】求三角函数值域的常用方法有:
(1)将函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后根据定义域求出值域即可;
(2)采用反函数法,利用sinx和cosx的有界性求值域;
(3)采用换元法,转化为代数函数求解,但应特别注意所换新元的范围.
变式 函数y=cos2x+2sinx的最大值和最小值分别是 .
【答案】,1
【解析】由题知y=-2+,
因为≤x≤,所以≤sinx≤1,
所以当sinx=时,ymax=;
当sinx=1时,ymin=1.
三角函数性质的综合应用
例3 已知向量a=,b=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·
b.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)求函数f(x)在上的最大值和最小值.
【思维引导】先将向量关系转化为三角函数f(x)=Asin(ωx+φ),然后再求解.
【解答】
(1)f(x)=a·
b=cosx·
sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,则-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(3)当x∈时,∈,
当x=0时,f(x)取得最小值f(0)=-;
当x=时,f(x)取得最大值f=1.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1,-.
【精要点评】一般地,此类问题需要把较为复杂的三角函数形式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+C的形式,然后再求周期、最值或单调区间等.其中最小正周期T=,单调区间与相应正弦(或余弦、正切)函数的性质有关,求最值时可借助三角函数的图象.
变式 已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<
φ<
0),且其图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间.
(1)因为x=是函数图象的一条对称轴,
所以sin=±
1,
所以+φ=kπ+,k∈Z.
因为-π<
0,所以φ=-.
(2)由
(1)知φ=-,
所以f(x)=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
故函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).
1.函数y=|sinx|的单调增区间为 .
【解析】作出y=|sinx|的图象,由图象可知,单调增区间为(k∈Z).
2.函数y=2sin2x-3sin2x的最大值是 .
【答案】+1
【解析】y=2×
-3sin2x=-cos2x-3sin2x+1=-sin(2x+φ)+1,所以函数的最大值为+1.
3.函数f(x)=sin在区间上的最小值是 .
【答案】-
4.(2015·
南通二调)若函数f(x)=2sin(ω>
0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2,则实数ω的值为 .
【解析】由题意得·
=2,解得ω=.
5.(2015·
南通期末)已知函数f(x)=sin,若y=f(x-φ)是偶函数,则φ= .
【解析】f(x-φ)=sin=sin.因为y=f(x-φ)是偶函数,所以-2φ=+kπ(k∈Z),所以φ=--.又因为0<
,所以φ=.
趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第49~50页.
【检测与评估】
一、填空题
1.函数y=的定义域为 .
2.函数y=tan的定义域为 .
3.函数y=的值域为 .
4.若函数f(x)=2sinωx(0<
ω<
1)在区间上的最大值为,则ω= .
5.(2014·
苏州调研)若函数f(x)=sin(x+θ)的图象关于直线x=对称,则θ= .
6.函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期是 .
7.已知当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .
8.已知函数f(x)=sin,给出下列命题:
①f(x)的图象关于直线x=对称;
②f(x)的图象关于点对称;
③f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数;
④将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到一个奇函数的图象.
其中正确的命题是 .(填序号)
二、解答题
9.(2014·
福建卷)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<
α<
,且sinα=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间.
10.(2015·
北京卷)已知函数f(x)=sinx-2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
11.已知函数f(x)=a+b.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域为[5,8],求a,b的值.
三、选做题
12.若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心为,则ω的最小值为 .
13.已知函数y=sin在区间[0,t]上至少取得两次最大值,则正整数t的最小值为 .
【检测与评估答案】
1.(k∈Z) 【解析】由cosx-≥0,得cosx≥,所以2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
2. 【解析】因为-x≠kπ+(k∈Z),所以x≠-kπ-(k∈Z),即x≠kπ-(k∈Z).
3. 【解析】由y=,得cosx=,所以≤1,即(y-2)2≤(y-1)2,解得y≥.
4. 【解析】由0≤x≤,得0≤ωx≤<
,则f(x)在上单调递增.又f(x)在上的最大值为,所以2sin=,且0<
<
,所以=,即ω=.
5. 【解析】因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以sin=±
1,而0<
θ<
,所以θ=.
6.π 7.-
8.③④ 【解析】对于①,f=sin=sin=,不是最值,所以x=不是函数f(x)的图象的对称轴,故该命题错误;
对于②,f=sin=1≠0,所以点不是函数f(x)的图象的对称中心,故该命题错误;
对于③,函数f(x)的最小正周期T==π,当x∈时,令t=2x+∈,显然函数y=sint在上为增函数,故函数f(x)在上为增函数,所以该命题正确;
对于④,把f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=sin=sin2x,是奇函数,所以该命题正确.
9.
(1)因为0<
,sinα=,
所以cosα=,
所以f(α)=×
-=.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
10.
(1)因为f(x)=sinx+cosx-=2sin-,
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.
当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间上的最小值为f=-.
11.f(x)=a(1+cosx+sinx)+b=asin+a+b.
(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,
所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.
①当a>
0时,
所以a=3-3,b=5.