江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案.docx

江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案.docx

《江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案

2019届高三年级第一次模拟考试

数学

（满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

锥体体积公式：

V＝Sh，其中S为底面积，h为高．

圆锥侧面积公式：

S＝πrl，其中r为底面半径，l为母线长．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，2，3}，则A∩B＝________．

2.函数f（x）＝的定义域为________．

3.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．

4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．

5.已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．

6.抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________．

7.设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若＝－，则＝________．

8.已知函数f（x）＝－2x，则满足f（x2－5x）＋f（6）>0的实数x的取值范围是________．

9.若2cos2α＝sin，α∈，则sin2α＝________．

10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则·的值为________．

11.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），前n项和为Sn，且数列{}也为公差为d的等差数列，则d＝________．

12.已知x>0，y>0，x＋y＝＋，则x＋y的最小值为________．

13.已知圆O：

x2＋y2＝1，圆M：

（x－a）2＋（y－2）2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．

14.设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a，b，c∈R，a≠0）．若不等式xf′（x）－af（x）≤2对一切x∈R恒成立，则的取值范围为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acosB.

（1）求cosB的值；

（2）若|－|＝2，△ABC的面积为2，求边b.

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.

（1）求证：

BC⊥平面VCD；

（2）求证：

AD∥MN.

17.（本小题满分14分）

某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．

（1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；

（2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a（单位：

元/千米，a为常数）．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．

18.（本小题满分16分）

已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的长轴长为4，两准线间距离为4.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D（1，0），且与椭圆C相交于E，F两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若△AEF的面积为，求直线l的方程；

（3）已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k（k≠0），k′.求证：

k·k′为定值．

19.（本小题满分16分）

设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64，数列{bn}满足：

对任意的正整数n，都有a1b1＋a1b2＋…＋anbn＝（n－1）·2n＋1＋2.

（1）分别求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）若不等式λ…<对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围；

（3）已知k∈N*，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：

是否存在正整数m.使得Tm＝2019？

如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝alnx－bx（a，b∈R）．

（1）若a＝1，b＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程；

（2）若a＝1，求函数y＝f（x）的单调区间；

（3）若b＝1，已知函数y＝f（x）在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x10）恒成立，求实数m的取值范围.

2019届高三年级第一次模拟考试

（二）

数学附加题

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21.（本小题满分10分）

求函数y＝3cos的图象在x＝处的切线方程．

22.（本小题满分10分）

已知定点A（－2，0），点B是圆x2＋y2－8x＋12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程.

23.（本小题满分10分）

在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．

（1）求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；

（2）求二面角B1DC1A1的余弦值．

24.（本小题满分10分）

已知x，y为整数，且x>y>0，θ∈，n为正整数，cosθ＝，sinθ＝，记An＝（x2＋y2）ncosnθ，Bn＝（x2＋y2）nsinnθ.

（1）试用x，y分别表示A1，B1；

（2）用数学归纳法证明：

对一切正整数n，An均为整数．

2019届高三年级第一次模拟考试

（二）（镇江）

数学参考答案

1.{0，2}　2.{x|x≤2}　3.　4.8　5.6.　7.　8.（2，3）　9.－　10.11.　12.3　13.[－2，2]　14.

15.

（1）由正弦定理＝＝，（1分）

且ccosB＋bcosC＝3acosB，得sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB，（3分）

则3sinAcosB＝sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sinA，（5分）

又A∈（0，π），则sinA>0，（6分）

则cosB＝.（7分）

（2）因为B∈（0，π），则sinB>0，sinB＝＝＝.（9分）

因为|－|＝||＝c＝2，（10分）

又S＝acsinB＝a×2×＝2，

解得a＝3.（12分）

由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋4－2×3×2×＝9，则b＝3.（14分）

故边b的值为3.

16.

（1）在四棱锥VABCD中，

因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以VD⊥BC.（3分）

因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.（4分）

又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，

则BC⊥平面VCD.（7分）

（2）因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，（8分）

又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，

则AD∥平面VBC，（11分）

又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD⊂平面ADNM，

则AD∥MN.（14分）

17.

（1）因为三楼宇间的距离都为2千米，

所以AB＝AC＝BC＝2，（1分）

因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，

所以∠BDC＝120°，（2分）

在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，（3分）

所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，

则BD·CD≤，（4分）

当且仅当BD＝CD时等号成立，

此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝.

区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×2×2×sin60°＋BD·CD·sin120°＝（平方千米）．（7分）

（或者：

因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×AB·BD＝（平方千米）．（7分））

（2）设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元，

在Rt△BDE中，由

（1）知，∠BDE＝θ∈，（8分）

则DE＝，BE＝tanθ，AE＝AB－BE＝2－tanθ，（9分）

所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a＋a·＝＋2a，θ∈.（10分）

记f（θ）＝，令f′（θ）＝＝0，

解得θ＝∈.（11分）

当θ∈时，f′（θ）<0，函数f（θ）为减函数；

当θ∈时，f′（θ）>0，函数f（θ）为增函数．

所以当θ＝时，f（θ）取最小值，

此时ymin＝4a（元）．（12分）

答：

（1）四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为平方千米；

（2）铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元．（14分）

18.

（1）由长轴长2a＝4，准线间距离2×＝4，

解得a＝2，c＝，（2分）

则b2＝a2－c2＝2，

即椭圆方程为＋＝1.①（4分）

（2）若直线l的斜率不存在，则EF＝，

△AEF的面积S＝AD·EF＝不合题意；（5分）

若直线l的斜率存在，设直线l：

y＝k（x－1），②代入①得，

（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0，③

因为点D（1，0）在椭圆内，所以Δ>0恒成立．

设点E（x1，y1），F（x2，y2），

则x1，2＝，④（6分）

EF＝＝|x1－x2|＝·.（7分）

点A到直线l的距离d为，（8分）

则△AEF的面积S＝d·EF＝···＝＝，（9分）

解得k＝±1.

综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.（10分）

（3）设直线AE：

y＝（x＋2），

令x＝3，得点M，

同理可得点N，

所以点Q的坐标为.（12分）

所以直线QD的斜率为k′＝，（13分）

而＋＝＋＝

k.（14分）

由

（2）中③得，x1＋x2＝，x1x2＝，代入上式得，（15分）

＋＝k＝

＝－.

则k′＝－，

所以k·k′＝－为定值．（16分）

19.

（1）设等比数列{an}的公比为q（q>0），

因为a1＝2，a2a4＝a1q·a1q3＝64，

解得q＝2，则an＝2n.（1分）

当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1，（2分）

当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝（n－1）·2n＋1＋2，①

a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝（n－2）·2n＋2，②

由①－②得，anbn＝n·2n，则bn＝n.

综上，bn＝n.（4分）

（2）不等式λ…<对一切正整数n都成立，

即λ…<，

因为…>0，

当λ≤0时，不等式显然成立；（5分）

当λ>0时，则不等式等价于…<，

设f（n）＝（1－）（1－）…（1－），

则

＝

＝＝<1.（7分）

所以f

（1）>f

（2）>f（3）>…>f（n）>…，

所以>f（n）max＝f

（1）＝，

则0<λ<，

综上λ<.（8分）

（3）在数列{cn}中，从b1至bk（含bk项）的所有项和是：

（1＋2＋3＋…＋k）＋（21＋22＋…＋2k－1）×2＝＋2k＋1－4.（10分）

当k＝9时，其和是45＋210－4＝1065<2019，

当k＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019，（12分）

又因为2019－106