学年北京市海淀区北京一零一中学高一下学期期末考试数学试题Word文档格式.docx

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6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题:

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.不等式>

0的解集是（）

A.（－，0）（1，+）B.（－，0）

C.（1，+）D.（0，1）

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得，，求解即可.

【详解】，解得或，故解集为（－，0）（1，+），故选A.

【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.

2.如图，长方体的体积为，E为棱上的点,且，三棱锥E－BCD的体积为，则=（）

A.B.C.D.

【答案】D

分别求出长方体和三棱锥E－BCD的体积，即可求出答案.

【详解】由题意，，

，

则.

故选D.

【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.

3.如图，在平行六面体中，M，N分别是所在棱的中点，则MN与平面的位置关系是（）

A.MN平面

B.MN与平面相交

C.MN平面

D.无法确定MN与平面的位置关系

【答案】C

取的中点，连结，可证明平面平面，由于平面，可知平面.

【详解】取的中点，连结，显然，

因为平面，平面，

所以平面，平面，

又，

故平面平面，

又因为平面，所以平面.

故选C.

【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了线面平行、面面平行的证明，属于基础题.

4.已知x，y∈R，且x>

y>

0，则（）

A.B.

C.D.lnx+lny>

结合选项逐个分析，可选出答案.

【详解】结合x，y∈R，且x>

0，对选项逐个分析：

对于选项A，，，故A正确；

对于选项B，取，，则，故B不正确；

对于选项C，，故C错误；

对于选项D，，当时，，故D不正确.

故选A.

【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.

5.等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则（　　）

A.a1＝1B.a3＝1C.a4＝1D.a5＝1

【答案】B

分析：

由题意知，由此可知，所以一定有．

详解

，．

故选：

B．

点睛：

本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

6.设，为两个平面，则能断定∥的条件是（）

A.内有无数条直线与平行B.，平行于同一条直线

C.，垂直于同一条直线D.，垂直于同一平面

对四个选项逐个分析，可得出答案.

【详解】对于选项A，当，相交于直线时，内有无数条直线与平行，即A错误；

对于选项B，当，相交于直线时，存在直线满足：

既与平行又不在两平面内，该直线平行于，，故B错误；

对于选项C，设直线AB垂直于，平面，垂足分别A,B，假设与不平行，设其中一个交点为C，则三角形ABC中，，显然不可能成立，即假设不成立，故与平行，故C正确；

对于选项D，，垂直于同一平面，与可能平行也可能相交，故D错误.

【点睛】本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

7.如图，A，B是半径为1的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为.图中△PAB的面积的最大值为（）

A.+sin2B.sin+sin2

C.+sinD.+cos

由正弦定理可得，，则，，当点在的中垂线上时，取得最大值，此时的面积最大，求解即可.

【详解】在中，由正弦定理可得，，则.

，当点在的中垂线上时，取得最大值，此时的面积最大.

取的中点，过点作的垂线，交圆于点，取圆心为，则（为锐角），.

所以的面积最大为.

故选B.

【点睛】本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用，考查了三角函数的化简，考查了计算能力，属于基础题.

8.已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°

.则球O的体积为（）

计算可知三棱锥P－ABC的三条侧棱互相垂直，可得球O是以PA为棱的正方体的外接球，球的直径，即可求出球O的体积.

【详解】在△PAC中，设，，，，

因为点E，F分别是PA，AB的中点，所以，

在△PAC中，，

在△EAC中，，

整理得，

因为△ABC是边长为的正三角形，所以，

又因为∠CEF=90°

，所以，

所以，

所以.

又因为△ABC是边长为的正三角形，

所以PA,PB,PC两两垂直，

则球O是以PA为棱的正方体的外接球，

则球的直径，

所以外接球O的体积为.

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

二、填空题。

9.设等差数列的前项和为，若，，则的值为______.

【答案】－6

由题意可得，求解即可.

【详解】因为等差数列前项和为，，

所以由等差数列的通项公式与求和公式可得

解得.故答案为-6.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题.

10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.

【答案】.

先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.

【详解】由正弦定理，得．，得，即，故选D．

【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．

11.已知正实数x，y满足2x+y=2，则xy的最大值为______.

【答案】

由基本不等式可得，可求出xy的最大值.

【详解】因为，所以，

故，当且仅当时，取等号.

故答案为.

点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都正数；

②和（或积）为定值；

③等号取得的条件.

12.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为________.

【答案】1.

取AC的中点E，连结DE，BE，可知DE⊥AC，由平面ACD⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，DE⊥BE，而，再结合ABCD是正方形可求出.

【详解】取AC的中点E，连结DE，BE，显然DE⊥AC，

因为平面ACD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，

所以DE⊥BE，而，

所以，.

【点睛】本题考查了空间中两点间的距离，把空间角转化为平面角是解决本题的关键.

13.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的侧面积为________.

先求出四棱锥的底面对角线的长度，结合勾股定理可求出四棱锥的高，然后由圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，可知四条侧棱的中点连线为正方形，其对角线为圆柱底面的直径，圆柱的高为四棱锥的高的一半，分别求解可求出圆柱的侧面积.

【详解】由题可知，四棱锥是正四棱锥，

四棱锥的四条侧棱的中点连线为正方形，边长为，

该正方形对角线的长为1，则圆柱的底面半径为，

四棱锥的底面是边长为的正方形，其对角线长为2，则四棱锥的高为，

故圆柱的高为1，所以圆柱的侧面积为.

【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

14.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的所有棱长和为_______.

取半正多面体的截面正八边形，设半正多面体的棱长为，过分别作于，于，可知，，可求出半正多面体的棱长及所有棱长和.

【详解】取半正多面体的截面正八边形，由正方体的棱长为1，可知，易知，设半正多面体的棱长为，过分别作于，于，则，，解得，故该半正多面体的所有棱长和为.

【点睛】本题考查了空间几何体的结构，考查了空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

三、解答题：

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为x.

（1）求出其表面积S（x）和体积V（x）；

（2）设，求出函数的定义域，并判断其单调性（无需证明）.

（1），；

（2）x>

，是减函数.

（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；

（2）结合表达式，可求出的范围，即定义域，然后判断其为减函数.

【详解】

（1）过点作平面的垂线，垂足为，取的中点，连结，

因为为正四棱锥，所以，，，

所以四棱锥的表面积为，

体积.

（2），解得，

是减函数.

【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.

16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.

（1）求的值；

（2）求的值.

（1）

（2）

（1）由正弦定理，可得，，结合，可得，由余弦定理可得出答案；

（2）由，可求出，进而求出的值，将展开可求出结果.

（1）由正弦定理，则，所以，而，则.

.

（2）因为，所以，

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角函数的恒等变换，属于基础题.

17.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：

BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°

，求证：

平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？

说明理由.

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）见解析

（Ⅰ）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

（Ⅱ）由几何体的空间结构特征首先证得线面垂