空间向量及立体几何知识点Word文件下载.docx
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②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
〔5〕面面平行
①证明两个平面的法向量平行〔即是共线向量〕;
②转化为线面平行、线线平行问题.
〔6〕面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直;
②转化为线面垂直、线线垂直问题.
6、运用空间向量求空间角
〔1〕求两异面直线所成角
利用公式,
但务必注意两异面直线所成角θ的X围是,
故实质上应有:
.
〔2〕求线面角
求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;
另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=|cosφ|.
〔3〕求二面角
用向量法求二面角也有两种方法:
一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;
另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.
7、运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离.
〔1〕点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模.
〔2〕点与面的距离
点面距离的求解步骤是:
①求出该平面的一个法向量;
②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离.
备考建议:
1、空间向量的引入,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,应体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步开展空间想像能力和几何直观能力.
2、灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题.
3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时,直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用,它的特点是用代数方法解决立体几何问题,无需进展繁、难的几何作图和推理论证,起着从抽象到具体、化难为易的作用.因此,应熟练掌握平面法向量的求法和用法.
4、加强运算能力的培养,提高运算的速度和准确性.
第一讲空间向量及运算
一、空间向量的有关概念
1、空间向量的定义
在空间中,既有大小又有方向的量叫做空间向量.注意空间向量和数量的区别.数量是只有大小而没有方向的量.
2、空间向量的表示方法
空间向量与平面向量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表示向量的大小,用有向线段的方向表示向量的方向.假设向量对应的有向线段的起点是A,终点是B,那么向量可以记为,其模长为或.
3、零向量
长度为零的向量称为零向量,记为.零向量的方向不确定,是任意的.由于零向量的这一特殊性,在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量〞还是“非零向量〞.
4、单位向量
模长为1的向量叫做单位向量.单位向量是一种常用的、重要的空间向量,在以后的学习中还要经常用到.
5、相等向量
长度相等且方向一样的空间向量叫做相等向量.假设向量与向量相等,记为=.零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
6、相反向量
长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量.的相反向量记为-
二、共面向量
1、定义
平行于同一平面的向量叫做共面向量.
2、共面向量定理
假设两个向量、不共线,那么向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y,使得=。
3、空间平面的表达式
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y使或对空间任一定点O,有或〔其中〕这几个式子是M,A,B,P四点共面的充要条件.
三、空间向量根本定理
1、定理
如果三个向量、、不共面,那么对空间任一向量,存在唯一的有序实数组x、y、z,使=
2、注意以下问题
〔1〕空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.
〔2〕由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不是。
〔3〕一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
由空间向量的根本定理知,假设三个向量、、不共面。
那么所有空间向量所组成的集合就是,这个集合可看做是由向量、、生成的,所以我们把称为空间的一个基底。
、、叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
3、向量的坐标表示
〔1〕单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
〔2〕空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点,分别以、、的方向为正方向建立三条数轴:
x轴、y轴、z轴,它们都叫坐标轴.那么建立了一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫原点,向量、、都叫坐标向量.
〔3〕空间向量的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量,且设、、为坐标向量,存在唯一有序数组〔x,y,z〕使,有序数组〔x,y,z〕叫做在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记为=。
对坐标系中任一点A,对应一个向量,那么=。
在单位正交基底、、中与向量对应的有序实数组〔x,y,z〕,叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标,记为A〔x,y,z〕.
四、空间向量的运算
1、空间向量的加法
三角形法那么〔注意首尾相连〕、平行四边形法那么,
加法的运算律:
交换律
结合律
2、空间向量的减法及几何作法
几何作法:
在平面内任取一点O,作,那么,即从的终点指向的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.
3、空间向量的数乘运算
〔1〕定义
实数与的积是一个向量,记为,它的模与方向规定如下:
①
②当时,与同向;
当时,与异向;
当时.
注意:
①关于实数与空间向量的积的理解:
我们可以把的模扩大〔当>
1时〕,也可以缩小〔<
1时〕,同时,我们可以不改变向量的方向〔当时〕,也可以改变向量的方向〔当时〕。
.
②注意实数与向量的积的特殊情况,当时,;
当,假设时,有。
③注意实数与向量可以求积,但是不能进展加减运算.比方,无法运算。
〔2〕实数与空间向量的积满足的运算律
设λ、μ是实数,那么有
〔结合律〕
〔第一分配律〕
〔第二分配律〕
实数与向量的积也叫数乘向量.
4、共线向量
〔1〕共线向量定义
假设表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量,也叫做平行向量。
假设与是共线向量,那么记为//。
零向量和空间任一向量是共线向量.
〔2〕共线向量定理
对空间任意两个向量、〔≠〕,//的充要条件是存在实数λ使=λ
〔3〕空间直线的向量表示式
如果直线l是经过点A且平行于非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式,其中向量叫做直线l的方向向量.
①假设在l上取,那么有
②上式可解决三点P、A、B共线问题的表示或判定.
③当时,,点P为AB的中点,这是中点公式的向量表达式.
④假设P分所成比为,那么
5、空间直角坐标系
在空间直角坐标系中,三条坐标轴两两互相垂直,轴的方向通常这样选择:
从z轴的正方向看,x轴正半轴沿逆时针方向转900能与y轴的正半轴重合。
让右手拇指指向x轴正方向.食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,那么称这个坐标系为右手直角坐标系。
一般情况下,建立的坐标系都是右手直角坐标系.
在平面上画空间直角坐标系O-xyz时,一般使∠xOy=135°
,∠yOz=90°
。
空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,是空间向量模长公式的推广,如果知道儿何体上任意两点的坐标.我们就可直接套用.
设,那么
特别地,P1〔x,y,z〕到原点的距离
6、空间向量的数量积运算
其中的夹角,X围是[0,π],注意数量积的性质和运算律。
1.性质
假设是非零向量,是与方向一样的单位向量,θ是的夹角,那么
〔1〕
〔2〕
〔3〕假设同向,那么;
假设反向,那么;
特别地:
〔4〕假设θ为
〔5〕
2.运算律
〔1〕结合律
〔2〕交换律
〔3〕分配律
不满足消去律和结合律即:
【典型例题】
例1.P是平面四边形ABCD所在平面外一点,连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。
求证:
E、F、G、H四点共面。
证明:
分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心
∴M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连结MNQR所得四边形为平行四边形,且有
∵MNQR为平行四边形,那么
∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面。
例2.如下图,在平行六面体中,,,,P是CA'
的中点,M是CD'
的中点,N是C'
D'
的中点,点Q是CA'
上的点,且CQ:
QA'
=4:
1,用基底表示以下向量:
〔1〕;
〔2〕;
〔3〕;
〔4〕。
解:
连结AC、AD'
〔3〕
〔4〕
点评:
本例是空间向量根本定理的推论的应用.此推论意在用分解定理确定点的位置,它对于以后用向量方法解几何问题很有用,选定空间不共面的三个向量作基向量.并用它们表示出指定的向量,是用向量解决几何问题的一项根本功.
例3.空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC。
M、N分别是OA、BC的中点,G是MN的中点。
OG⊥BC。
连结ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ
又设,,,那么。
又
∴
∴OG⊥BC
例4.空间三点A〔0,2,3〕,B〔-2,1,6〕,C〔1,-1,5〕。
〔1〕求以为邻边的平行四边形面积;
〔2〕假设,且垂直,求向量的坐标。
〔1〕由题中条件可知
∴以为邻边的平行四边形面积:
〔2〕设由题意得
解得
第二讲直线的方向向量、平面的法向量及其应用
一、直线的方向向量及其应用
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行〔或共线〕的向量,显然一条直线的方向向量可