空间向量及立体几何知识点Word文件下载.docx

1、利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题5面面平行证明两个平面的法向量平行即是共线向量；转化为线面平行、线线平行问题6面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题6、运用空间向量求空间角1求两异面直线所成角利用公式，但务必注意两异面直线所成角的X围是，故实质上应有：2求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角，即可求出直线与平面所成的角，其关系是sin| cos|3求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出

2、与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离1点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模2点与面的距离点面距离的求解步骤是：求出该平面的一个法向量；求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离备考建议：1、空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、

3、平面位置关系的问题，应体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步开展空间想像能力和几何直观能力2、灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进展繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用因此，应熟练掌握平面法向量的求法和用法4、加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量注意空间向量和数量的区别数量是只有大小而没

4、有方向的量2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向假设向量对应的有向线段的起点是A，终点是B，那么向量可以记为，其模长为或3、零向量长度为零的向量称为零向量，记为零向量的方向不确定，是任意的由于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量还是“非零向量4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学习中还要经常用到5、相等向量长度相等且方向一样的空间向量叫做相等向量假设向量与向量相等，记为=.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中

5、的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量的相反向量记为二、共面向量1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量2、共面向量定理假设两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y,使得=。3、空间平面的表达式空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y使或对空间任一定点O,有或其中这几个式子是M,A,B,P四点共面的充要条件三、空间向量根本定理1、定理如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使=2、注意以下问题1空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底2由于可视

6、为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是。3一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念由空间向量的根本定理知，假设三个向量、不共面。那么所有空间向量所组成的集合就是,这个集合可看做是由向量、生成的，所以我们把称为空间的一个基底。、叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 3、向量的坐标表示1单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示2空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点，分别以、的方向为正方向建立三条数轴:

7、x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴那么建立了一个空间直角坐标系Oxyz,点O叫原点，向量、都叫坐标向量3空间向量的坐标给定一个空间直角坐标系和向量,且设、为坐标向量，存在唯一有序数组x，y，z使，有序数组x，y，z叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记为=。对坐标系中任一点A，对应一个向量，那么=。在单位正交基底、中与向量对应的有序实数组x，y，z，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为Ax，y，z.四、空间向量的运算1、空间向量的加法三角形法那么注意首尾相连、平行四边形法那么，加法的运算律：交换律结合律2、空间向量的减法及几何作法几何作法：在平面内任取一点O，作，那么，即从的终点指向的终点

8、的向量，这就是向量减法的几何意义3、空间向量的数乘运算1定义实数与的积是一个向量，记为，它的模与方向规定如下：当时，与同向；当时，与异向；当时注意：关于实数与空间向量的积的理解：我们可以把的模扩大当1时，也可以缩小 1 时，同时，我们可以不改变向量的方向当时，也可以改变向量的方向当时。 . 注意实数与向量的积的特殊情况，当时，；当，假设时，有。注意实数与向量可以求积，但是不能进展加减运算比方，无法运算。2实数与空间向量的积满足的运算律设、是实数，那么有结合律第一分配律第二分配律实数与向量的积也叫数乘向量4、共线向量1共线向量定义假设表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫

9、做共线向量，也叫做平行向量。假设与是共线向量，那么记为/。零向量和空间任一向量是共线向量2共线向量定理对空间任意两个向量、，/的充要条件是存在实数使3空间直线的向量表示式如果直线l 是经过点 A 且平行于非零向量的直线，那么对任一点 O，点P在直线l 上的充要条件是存在实数t，满足等式，其中向量叫做直线 l 的方向向量假设在 l 上取，那么有上式可解决三点P、A、B 共线问题的表示或判定当时，点P为AB的中点，这是中点公式的向量表达式假设P分所成比为，那么5、空间直角坐标系在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴正半轴沿逆时针方向转 900能与

10、y 轴的正半轴重合。让右手拇指指向 x 轴正方向食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使xOy=135，yOz=90。空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，是空间向量模长公式的推广，如果知道儿何体上任意两点的坐标我们就可直接套用设，那么特别地，P1x,y,z到原点的距离 6、空间向量的数量积运算其中的夹角，X围是0，注意数量积的性质和运算律。 1. 性质假设是非零向量，是与方向一样的单位向量，是的夹角，那么123假设同向，那么；假设反向，那么；特

11、别地：4假设为5 2. 运算律1结合律2交换律3分配律不满足消去律和结合律即：【典型例题】例1. P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心。求证：E、F、G、H四点共面。证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、RE、F、G、H分别是所在三角形的重心M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结MNQR所得四边形为平行四边形，且有MNQR为平行四边形，那么由共面向量定理得E、F、G、H四点共面。例2. 如下图，在平行六面体中，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q是CA上的点，且CQ：QA=

12、4：1，用基底表示以下向量：1；2；3；4。解：连结AC、AD34点评：本例是空间向量根本定理的推论的应用此推论意在用分解定理确定点的位置，它对于以后用向量方法解几何问题很有用，选定空间不共面的三个向量作基向量并用它们表示出指定的向量，是用向量解决几何问题的一项根本功例3. 空间四边形OABC中，AOB=BOC=AOC，且OA=OB=OC。M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。OGBC。连结ON，设AOB=BOC=AOC=又设，那么。又OGBC例4. 空间三点A0，2，3，B2，1，6，C1，1，5。1求以为邻边的平行四边形面积；2假设，且垂直，求向量的坐标。1由题中条件可知以为邻边的平行四边形面积：2设由题意得解得第二讲直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用 1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行或共线的向量，显然一条直线的方向向量可