计算方法试题集及答案新.docx
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计算方法试题集及答案新
1.
为精确值
的近似值；
为一元函数
的近似值；
为二元函数
的近似值，请写出下面的公式：
：
1、
2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。
3、分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有6位和7位；又取
（三位有效数字），则
。
4、设
均具有3位有效数字，则
的相对误差限为0.0055。
5、设
均具有3位有效数字，则
的误差限为0.01。
6、已知近似值
是由真值
经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204.
7、递推公式
如果取
作计算,则计算到
时,误差为
;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定.
8、精确值
，则近似值
和
分别有3位和4位有效数字。
9、若
则x有6位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、设x*的相对误差为2％，求（x*）n的相对误差0.02n
11、近似值
关于真值
有
（2）位有效数字；
12、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；
13、为了使计算
的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为
，为了减少舍入误差，应将表达式
改写为
。
14、改变函数
（
）的形式，使计算结果较精确
。
15、设
，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.
16、已知数e=2.718281828...,取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是4。
二、单项选择题：
1、舍入误差是（A）产生的误差。
A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值
C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值
2、3.141580是π的有（B）位有效数字的近似值。
A．6B．5C．4D．7
3、用1+x近似表示ex所产生的误差是（C）误差。
A．模型B．观测C．截断D．舍入
4、用1+
近似表示
所产生的误差是（D）误差。
A．舍入B．观测C．模型D．截断
5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效数字。
A．5B．6C．7D．8
6、（D）的3位有效数字是0.236×102。
（A）0.0023549×103（B）2354.82×10－2（C）235.418（D）235.54×10－1
7、取
计算
，下列方法中哪种最好？
（ C ）
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
三、计算题
1.有一个长方形水池,由测量知长为（50±0.01）米,宽为（25±0.01）米,深为（20±0.01）米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.
解：
设长方形水池的长为L，宽为W,深为H，则该水池的面积为V=LWH
当L=50,W=25,H=20时，有V=50*25*20=25000（米3）
此时，该近似值的绝对误差可估计为
相对误差可估计为：
而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足
故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为
2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若
试求其面积的绝对误差限和相对误差限.
解：
设长方形的面积为s=ab
当a=110,b=80时，有s==110*80=8800（米2）
此时，该近似值的绝对误差可估计为
相对误差可估计为：
而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足
故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为
绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。
3、设x*的相对误差为2％，求（x*）n的相对误差
4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？
解：
令
，根据一元函数相对误差估计公式，得
从而得
5.正方形的边长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2
解：
da=ds/（2a）=1cm2/（2*100）cm=0.5*10-2cm,即边长a的误差不超过0.005cm时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。
6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。
试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。
解：
=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325
=2
=0.0002
第一章插值法
一、填空题：
1.设xi（i=0,1,2,3,4）为互异节点，li（x）为相应的四次插值基函数，则
＝（x4+2）.
2.设xi（i=0,1,2,3,4，5）为互异节点，li（x）为相应的五次插值基函数，则
=
3.已知
4.
。
5.设
则
＝3,
=0
6.设
和节点
则
=4.
7.设
则
的二次牛顿插值多项式为0+16（x-0）+7（x-0）（x-1）。
8.如有下列表函数:
0.2
0.3
0.4
0.04
0.09
0.16
则一次差商
=0.6。
9、2、
，则过这三点的二次插值多项式中
的系数为-2，拉格朗日插值多项式为
或
10、对
差商
（1）,
（0）；
11、已知f
（1）＝2，f
（2）＝3，f（4）＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为（0.15）；
12、设
则
，
的二次牛顿插值多项式为
。
13、
是以整数点
为节点的Lagrange插值基函数，则
=1，
=
，，当
时
（
）。
14、设一阶差商
，
则二阶差商
15、通过四个互异节点的插值多项式p（x）,只要满足三阶均差为0，则p（x）是不超过二次的多项式
16、若
，则差商
3。
二、单项选择题：
1、设f（-1）=1,f（0）=3,f
（2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为（A）。
A．–0．5B．0．5C．2D．-2
2、拉格朗日插值多项式的余项是（B）,牛顿插值多项式的余项是（C）。
（A）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），
（B）
（C）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），
（D）
3、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f（x）
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（ A ）。
（A）二次；（B）三次；（C）四次；（D）五次
4、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ D ）
１
1.5
２
2.5
３
3.5
-1
0.5
2.5
5.0
8.0
11.5
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
5、设
是以
为节点的Lagrange插值基函数，则
（C）
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
6、由下列数据
0
1
2
3
4
1
2
4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为（A）
（A）4；（B）2；（C）1；（D）3。
三、问答题
1.什么是Lagrange插值基函数?
它们有什么特性？
答：
插值基函数
是满足插值条件
的n次插值多项式，它可表示为
并有以下性质，
2.给定插值点
可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？
为什么?
它们各有何优点？
答：
给定插值点后构造的Lagrange多项式为
Newton插值多项式为
它们形式不同但都满足条件
于是
它表明n次多项式
有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故
即
与
是相同的。
是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而
每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。
3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？
答：
Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为
，而Hermite插值余项在有条件的点
看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为
后面相因子
改为
即可得到Hermite插值余项。
四、计算题
1、设
求差商
解：
，故
根据差商的性质，得
2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式:
解：
根据已知条件可求得
代入埃尔米特三次插值多项式公式
3、如有下列表函数:
0
1
2
3
4
3
6
11
18
27
试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式.
解：
查分表如下：
0
3
1
6
3
2
11
5
1
3
18
7
1
0
4
27
9
1
0
0
N4（x）=3+3（x-0）+1*（x-0）（x-1）=x2+2x+3,0≤x≤1
4、给出
的函数表如下：
0.40
0.50
0.60
0.70
－0.916291
－0.693147
－0.510826
－0.356675
试用线性插值和抛物插值求
的近似值。
5．已知
x
-1
1
2
F（x）
3
1
-1
请依据上述数据求f（x）的2次Lagrange插值多项式。
6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式
f（0）=1,f
（1）=2,f
（2）=9,f’
（1）=3,并写出插值余项。
解：
根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出
设待插值函数为：
根据
得参数
则
插值余项为：
7、已知
1
3
4
5
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求
的三次插值多项式
，并求
的近似值（保留四位小数）。
答案：
差商表为
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
8、已知
区间[0.4，0.8]的函数表
0.40.50.60.70.8
0.389420.479430.564640.644220.71736
如用二次插值求
的近似值，如何选择节点才能使误差最小？
并求该近似值。
答案：
解：
应选三个节点，使误差
尽量小，即应使
尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点
最好，实际计算结果
，且
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