计算方法试题集及答案新.docx

1、计算方法试题集及答案新1. 为精确值的近似值；为一元函数的近似值；为二元函数的近似值，请写出下面的公式： 1、2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。3、分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取（三位有效数字），则。4、设均具有3位有效数字，则的相对误差限为 0.0055 。5、设均具有3位有效数字，则的误差限为 0.01 。6、已知近似值是由真值经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .7、递推公式如果取作计算,则计算到时,误差为;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8、精确值，则

2、近似值和分别有 3 位和 4 位有效数字。9、若,则x有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。10、 设x*的相对误差为2，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值关于真值有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为 。14、改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。15、设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150_.16、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是 4 。二、单项选择题

3、：1、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值2、3.141580是的有( B )位有效数字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 3、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 4、用1+近似表示所产生的误差是( D )误差。 A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断5、-3247500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A 5 B 6 C 7 D 86、( D )的3位有效数字是0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 23

4、54.82102 (C) 235.418 (D) 235.541017、取计算，下列方法中哪种最好？（C）(A)； (B)； (C) ； (D) 。三、计算题1.有一个长方形水池,由测量知长为(500.01)米,宽为(250.01)米,深为(200.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.解：设长方形水池的长为L，宽为W,深为H，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3)此时，该近似值的绝对误差可估计为相对误差可估计为：而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满

5、足故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s=110*80=8800(米2)此时，该近似值的绝对误差可估计为相对误差可估计为：而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。3、设x*的相对误差为2，求(x*)n的相对误差4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？解：令，根据一元函数相对误差估计公式，得 从而得 5.正方形的边

6、长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2 解：da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a的误差不超过0.005cm时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。6假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。解：=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325=2=0.0002第一章插值法一、填空题：1.设xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点，li(x)为相应的四次插值基函数，则(x4+2).2.设xi(i=0,

7、1,2,3,4，5)为互异节点，li(x)为相应的五次插值基函数，则=3.已知4.。5.设则3, =06.设和节点则= 4.7.设则的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。8.如有下列表函数:0.20.30.40.040.090.16则一次差商= 0.6 。9、2、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 -2 ，拉格朗日插值多项式为,或10、对,差商( 1 ),( 0 )；11、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；12、设,则，的二次牛顿插值多项式为。13、是以整数点为节点的Lagrange插值基函

8、数，则= 1 ，= ，当时( )。14、设一阶差商 ， 则二阶差商 15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式16、若，则差商 3 。二、单项选择题：1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A 05 B 05 C 2 D -22、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn

9、)，(D) 3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ A ）。（A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五次4、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（D）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (C) ； (D) 。5、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则( C )(A)； （B）； （C）； （D）。 6、由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为( A )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。三、问答题1.什么是Lag

10、range插值基函数?它们有什么特性？答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质， 2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为 Newton插值多项式为它们形式不同但都满足条件,于是它表明n次多项式 有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。 是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而 每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。 3.Hermite插值与Lagrange插值公

11、式的构造与余项表达式有何异同？答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为 后面相因子改为即可得到Hermite插值余项。四、计算题1、设,求差商解：，故根据差商的性质，得2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式: 解：根据已知条件可求得代入埃尔米特三次插值多项式公式3、如有下列表函数:0123436111827试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多

12、项式及余项公式.解：查分表如下：03163211513187104279100N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0x14、给出的函数表如下：0.400.500.600.700.9162910.6931470.5108260.356675试用线性插值和抛物插值求的近似值。5已知x-112F（x）31-1 请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange插值多项式。6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式 f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f(1)=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出 设待插值函数为： 根据得参数则 插值余项为：7、已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。答案： 差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10 8、已知区间0.4，0.8的函数表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差 尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果， 且