喀兴林高等量子力学习题EX1矢量空间.docx
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喀兴林高等量子力学习题EX1矢量空间
EX1.矢量空间
练习试只用条件
（1）~（8）证明
，
和
。
（完成人：
梁立欢审核人：
高思泽）
证明：
由条件（5）、（7）得
只需证明
和
这两式互相等价
根据条件（7）
现在等式两边加上
，得
根据条件（4），
上式左
根据条件（4）、
（2）
上式右
由
，根据条件（4）、（7）得
#
练习证明在内积空间中若
对任意
成立，则必有
。
（完成人：
谷巍审核人：
肖钰斐）
证明由题意可知，在内积空间中若
对任意
成立，则有
－
=0
（1）
于是有
（2）
由于在内积空间中
对任意
成立，则可取
则有
=0成立（3）
根据数乘的条件（12）可知，则必有
（4）
即
故命题成立，即必有
.
#
练习矢量空间运算的12个条件是不是独立的？
有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？
如有，试证明之。
（完成人：
赵中亮审核人：
张伟）
解：
矢量空间运算的12个条件是独立的。
#
练习
（1）在第二个例子中若将加法的规定改为：
和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角
的分角线方向，空间是否仍为内积空间？
（2）在第二个例子中若将二矢量
内积的定义改为
或
，空间是否仍为内积空间？
（3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为
空间是否仍为内积空间？
（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为
空间是否仍为内积空间？
（完成人：
张伟审核人：
赵中亮）
解：
（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。
因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为
，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。
所以空间不是内积空间。
（2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。
证明如下：
一般情况下，
即有
=
所以内积的定义改变之后不是内积空间。
（3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。
证明如下：
i
ii．
iii．
iv.
，对任意
成立
若
综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间
（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为
后，空间不是内积空间。
因为
，积分号内的函数是一个奇函数，它不能保证对于任意的
积分出来后都大于零，即不符合条件（12），所以不是内积空间。
在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为
后，空间是内积空间。
证明如下:
i
ii
iii
iv
若
，则必有
综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间。
#
练习若a为复数，证明若
时，Schwartz不等式中的等号成立。
（完成人：
肖钰斐审核人：
谷巍）
证明：
当若
时，分别带入Schwartz不等式的左边和右边。
左边=
右边=
左边=右边，说明当
时，Schwartz不等式中的等号成立。
#
练习证明当且仅当
对一切数
成立时，
与
正交。
并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。
（完成人：
赵中亮审核人：
张伟）
证明：
解：
当
对一切数
成立时，有
即
得
即
因为
可以取一切数,所以当
取纯虚数时，即
得
由此得
只能是实数
当
取非零实数时，即
只有
时，即
与
正交时才成立
所以当
对一切数
成立时，
与
正交。
当
与
正交时，
则
取
为任意数
则
得
即
对一切数
成立
综上，当且仅当
对一切数
成立时，
与
正交。
在三维位形空间中，这一命题的几何意义是：
对角线相等的平行四边形是矩形。
#
练习证明：
当且仅当
对一切数
成立时，
与
正交。
（完成人：
班卫华审核人：
何贤文）
证明：
因为
，两边平方得
则构成以
为变量的二次函数，要使对一切
成立，判别式恒小于等于零，
即
只需
即
得
所以当
对一切数
成立时，
与
正交。
练习在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量：
它们构成一个完全集，试用Schmidt方法求出一组基矢。
（完成人：
肖钰斐审核人：
谷巍）
解：
由Schmidt方法，所求基矢：
#
练习在上题中，改变四个
的次序，取
重新用Schmidt方法求出一组基矢。
（完成人：
何贤文审核人：
班卫华）
解：
由空间中不满足正交归一条件的完全集{
}，求这个空间的一组基矢{
}.
（1）首先取
为归一化的
：
（2）取
，选择常数
使
与
正交，即
得
，
取
为归一化的
：
（3）取
，选择常数
和
使
与
正交，即
归一化的
为
（4）取
，选择常数
使
与已选定的
正交，即
归一化的
为
则找到一组基矢为{
}.
#
练习在三维位形空间中，
，
，
是在互相垂直的x，y，z三个轴上的单位矢量。
取三个归一化的矢量：
（高思泽）
在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。
现在改变正交的定义：
定义这三个矢量
，
，
互相正交。
1.证明：
定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一种内积规则。
2.求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量
，
的内积表为
和
的函数。
3.验证所求的内积规则符合条件（9）～（12）。
4.用
验证所求出的内积规则。
1证明：
在一个归一化的完全集里面的矢量集合里，任意的两个矢量正交，根据矢量的正交性定义，两个矢量ψ和φ的内积为零，即
。
2解：
由
，
，
与
，
，
的关系，可得到如下变换：
由上面的关系得：
由此，
定义
，
，
互相正交，有矢量的正交性，得
由此可得
3证明：
当
时，只有x,y,z都同时等于0才能满足，即
。
综上所述，所求的内积规则符合条件（9）～（12）。
4，见
（2）
#
练习在n维空间中，已知
，i=1,2,3.....,n是一组完全集（不一定正交），现在有n个矢量
，i=1,2,3.....,n（也不一定正交），定义
D=
证明
线性相关的必要和充分条件维D=0。
（完成人：
何贤文审核人：
班卫华）
解：
对于矢量空间的n个矢量的集合
，有
，此式是关于n个矢量的集合
的齐次方程组
（1）
若
线性相关，则满足
至少有一组非零解，则要求：
即
D=0
若D=0，则方程
（1）必有非零解，即满足有一组不为零的复数使得
故
线性相关。
#
练习一个矢量空间有两个不同的子空间S1和S2，证明除去以下两种情况外，包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合并不是子空间：
（1S1是S2的子空间或S2是S1的子空间；
（2S1和S2其中之一只含有零矢量一个元。
（完成人：
张伟审核人：
赵中亮）
证明：
（1）设子空间S1和S2的维数分别为m，n，它们共同的基矢的个数为
个，当S1不是S2的子空间且S2不是S1的子空间时，它们之间含有不同的基矢。
则当S1空间的一个矢量和S2空间的一个矢量做加法的时，它们得到的矢量并不能一定在包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合中找到，因为加法后得到的矢量的维数可以大到
维，而
所以包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合并不是矢量空间，从而不是子空间。
（2）当S1和S2其中之一只含有零矢量一个元时，它必然是另一个子空间的子空间，由此可见
（2）只不过是
（1）的特例，显然得证。
#
练习阅读狄拉克的《量子力学原理》§6，分析他建立左矢空间的方法与我们的方法有什么共同点和不同点.
（完成人：
梁立欢审核人：
高思泽）
分析：
本书从空间的方向入手建立左矢量。
我们对现有的一个矢量空间定义了其中矢量的加法、数乘和标量积运算，称此空间为单一空间。
现在对照这个空间再建以下两个空间。
一个叫右矢空间，它的构造同单一空间完会一样，每一个矢量（即右矢）都与单一空间里的矢量相对应，这些右矢有加法和数乘的运算，其定义和规则与单一空间相同。
第二空间比照右欠空间来建立，称为左矢空间，其实右矢空间的每一个矢量在左矢空间都有一个左矢与其相对应。
，左矢空间中的事情不能随意去规定，需要同右矢空间的事情相互协调，它们通过标量积联系起来。
这样建立的左矢空间是一个完全确定的（即有明确加法和数乘运算规则的）欠量空间。
狄拉克是从对偶矢量的方向入手建立左矢量。
假定有一个数C。
它是右矢量
的函数，就是说，对每一个右矢量
有一个函数C与之相应，并且进一步假定此函数是线性函数，其意义是，相应于
的数等于相应于
的数与相应于
的数之和，相应于
的数是相应于
的数的
倍，其中
是任意的数字因子。
这样，相应于任何
的数C，就可以看成是
与某个新矢量的标量积，对右矢量
的每一线性函数就有一个这样的新矢量。
我们把这种新矢量称为“左矢量”或简称“左矢”。
在此引入的左矢量，是与右矢量完全不同的另一类矢量，而且直到现在。
除了左矢量与右矢量之间存在着标量积以外，两者之间还没有任何联系。
现在作一个假定：
在左矢量与右矢量之间有一一对应关系。
使得相应于
的左矢是相应于
的左矢与相应于
的左矢之和。
而相应于
的左矢则是相应于
的左矢乘以
，
是c的共轭复数，
相应的左矢可写成
。
从以上两种方法来看，它们是从不同的方向来建立左矢空间的，在此过程中，都对矢量关系和运算问题进行了一些假定（或规定），并且所建立的左矢空间和右矢空间都是通过定义的标量积联系起来。
#
练习证明：
与所有左矢的内积均已给定（但给定值应满足内积条件（9）~（12））的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有一个）。
（完成人：
谷巍审核人：
肖钰斐）
证明设右矢
和
与所有左矢
的内积均已给定,且内积均为C.则有
（1）
（2）
根据内积条件（10）的第一式，由
（1）－
（2），则有
（3）
因为
是任意的左矢，故知括号内为
，即
（4）
（5）
故与所有左矢的内积均已给定的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有一个）.定理得证.
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