北师大附中期中文Word下载.docx

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A．B．C．D．

8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（　　）

A．4B．3C．2D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．（5分）平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是　　．

10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为　　．

11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为　　．

12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：

cosβ=　　．

13．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为　　．

14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　．

三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）

15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．

（I）求圆E的方程；

（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．

16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°

，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．

（1）求证：

DE∥平面PBC；

（2）求证：

AB⊥PE．

17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1

与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°

．

（Ⅰ）求证：

A1C1⊥平面B1BDD1；

（Ⅱ）求证：

AO∥平面BC1D；

（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．

四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填在横线上）

18．（4分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=　　．

19．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是　　．

20．（4分）从直线y=2上的点向圆x2+y2=1作切线，则切线长的最小值为　　．

21．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°

，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为　　．

22．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：

x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°

，则x0的取值范围是　　．

五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）

23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．

AB⊥平面AA1C1C；

（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；

（Ⅲ）证明：

EF⊥A1C．

24．（10分）已知圆C：

x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第二象限，半径为．

（1）求圆C的方程；

（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？

若存在，求直线的方程；

若不存在，说明理由．

25．（10分）已知点P（2，0）及圆C：

x2+y2﹣6x+4y+4=0．

（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；

（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；

（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？

若存在，求出实数a的值；

若不存在，请说明理由．

数学试题答案

1．【解答】根据空间中直线与平面的位置关系可得：

b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，

故选D．

2．【解答】∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，

∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，

∴=﹣2，解得，

故选B．

3．【解答】①斜率不存在时，

过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．

此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．

∴x=﹣1是圆的切线方程．

②斜率存在时，

设直线斜率为k，

则直线方程为：

y﹣5=k（x+1）．

即kx﹣y+k+5=0．

∵直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离

解得，．

∴直线方程为5x+12y﹣55=0．

∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为

x=﹣1或5x+12y﹣55=0．

故选：

C．

4．【解答】A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；

B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；

C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；

D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．

5．【解答】设P（x，y）为线段AB的垂直平分线上的任意一点，

则|PA|=|PB|，

∴=，

化为4x﹣2y﹣5=0．

B．

6．【解答】将△ABC绕直线BC旋转一周，

得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，

故所形成的几何体的体积V=×

π×

42×

3=16π，

D

7．【解答】因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，

棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，

所以表面积为：

2×

+2×

3×

2=12+2．

故选C．

8．【解答】设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：

x+y﹣2=0

点C到直线AB的距离为：

d=，

有三角形ABC的面积为2可得：

=|a+a2﹣2|=2

得：

a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，

可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）

使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．

故应选：

A

9．【解答】由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．

∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．

∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是==2．

故答案为：

2．

10．【解答】设截取棱锥的高为：

h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：

16﹣5=11cm

11cm

11．【解答】因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，

所以球的半径为：

=．

所以球O的表面积为4π×

3=12π．

12π．

12．【解答】由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，

∴cosα==，cosβ=，

∴cosα：

cosβ=，

13．【解答】圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，

可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，

x2+（y﹣1）2=1．

14．【解答】∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：

（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；

又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，

∴只需圆C′：

（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．

设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，

则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，

∴0≤k≤．

∴k的最大值是．

15．【解答】

（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上

∴，解之得

因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；

（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1

∴圆心为E（1，2），半径r=1

设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=

∵直线l与圆E相交所得弦的长为，

∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1

可得d2=，即=，解之得k=1或7

∴直线l的方程是y=x或y=7x．

16．【解答】

（1）∵D、E分别为AB、AC中点，

∴DE∥BC．

∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

∴DE∥平面PBC．…（4分）

（2）连接PD，

∵PA=PB，D为AB中点，

∴PD⊥AB．…．（5分）

∵DE∥BC，BC⊥AB，

∴DE⊥AB…（6分）

又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE

∴AB⊥平面PDE…（8分）

∵PE⊂平面PDE，

∴AB⊥PE…（9分）

17．【解答】

（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，

所以BB1⊥底面A1B1C1D1．

又A1C1⊂底面A1B1C1D1，

所以BB1⊥A1C1．

因为A1B1C1D1为菱形，

所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，

所以A1C1⊥平面B1BDD1．

（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．

依题意，AA1∥CC1，

且AA1=CC1，AA1⊥AC，

所以A1ACC1为矩形．

所以OC1∥AE．

又，，A1C1=AC，

所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，

则AO∥C1E．

又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，

所以AO∥平面BC1D．

（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1