二次函数与一元二次方程关系解题技巧Word文档下载推荐.docx
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)
A.-5
B.5
C.-9
D.9
【解析】由于m、n是方程的根,将m、n代入该方程可得m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,即m2-2m=1,n2-2n=1.变形,得7m2-14m=7,3n2-6n=3,因此(7+a)(3-7)=8,所以a=-9.
【答案】C
【小结】从方程的根入手,将其根代入方程,进而构造出一个新的方程.在解本题的过程中,还应用了整体的思想,同时要注意把握条件与结论之间的关系,即括号中的7m2-14m、3n2-6n与已知方程之间的关系.从而使问题得到快速求解.
类型三
巧构一元二次方程的根
【例4】已知一元二次方程(为常数)满足,则该方程的一根必为________.
【解析】结合一元二次方程根的定义,当时,满足方程左、右两边都相等,由此判断方程的一根必为x=.
【答案】x=
【小结】估算一元二次方程的根时,应结合根的意义,通过观察,比较得出.
类型四
判断一元二次方程根的范围
【例5】根据下列表格中的对应值,判断方程(为常数)的一个解的范围是(
)
6.17
6.18
6.19
6.20
A.
B.
C.
D.
【解析】由表格中的数据发现:
当x=6.18时,代数式的值为-0.01;
当x=6.19时,代数式的值为0.02,要从表格中判断=0的解,可发现未知数x的值应处于6.18到6.19之间.
【小结】解决本题的关键在于理解根的意义,使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解.
类型五
与一元二次方程的根有关的开放题
【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1,写出一个符合条件的方程:
____________.
【解析】答案不唯一,可先写出二次项,再写出一次项,最后写能使该方程有一根为1的常数项.
【答案】答案不唯一,如:
即等.
二、实际问题与一元二次方程解题技巧
近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现,此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景,形式多变.主要是考查分析问题、解决问题能力.
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)审;
(2)设;
(3)列;
(4)解;
(5)检验;
(6)答.
2.一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
常见问题
常用规律、技巧、方法
增长率、减少率
几何问题
借助面积或体积,相关图形的性质及内在关系
倍数传播
市场经济
销售利润=每件的利润×
件数
数字问题
用相关的代数式表示数
增长率、减少率问题
【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:
①打9.8折销售;
②不打折,送两年物业管理费,物业管理费是每平方米每月1.5元,请问哪种方案更优惠?
【分析】
(1)设平均每次下调的百分率为x,根据第一次下调后为,第二次下调后为列方程求解即可;
(2)从购房和物业费两方面,比较方案①、方案②即可.
【解】
(1)设平均每次下调的百分率为x,根据题意,得.解得=10%,(不合题意舍去).所以平均每次下调的百分率为10%.
(2)方案①的房款是:
4050×
100×
0.98=396900(元);
方案②的房款是:
100-1.5×
12×
2=401400(元).
∵396900<401400,
∴选方案①更优惠.
【小结】增长(降低)率是列方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键,常见的词语有:
“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等.弄清基数、增长(减少)后的量及增长(减少)次数,平均增长率公式为(为基数,为平均增长率,为增长次数,为增长后的量).同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚.
病毒倍数传播问题
【例2】某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
【分析】设一台每轮感染给x台电脑,则第一轮后有(1+x)台,经过第二轮感染后,共有.
【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意,得.
解得x=8或-10(负值不合题意,舍去).
∵>700,∴若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的,常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等,是近年中考的热点与亮点,尤其是病毒传播速度成几何级数增长,随着传播轮数的增加,数量是十分惊人的,一定要画好分析图,尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和.解这类问题的关键是理解题意,设出适当的未知数列方程求解.
几何图形问题
【例3】在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.
同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?
若不符合,请用方程的方法说明理由.
【分析】设小路宽度为m,则花园的长为,花园的宽为,根据面积可得方程.
(1)不符合.设小路宽度均为m,根据题意得:
,解这个方程得:
但不符合题意,应舍去,∴.∴小芳的方案不符合条件,小路的宽度应均为2m.
【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形(常见的有三角形、特殊四边形),要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪,设计一个新的图形或图案.在有关几何图形的面积表示中,通常有三种处理办法:
直接表示、间接表示与变换表示.解决有关面积问题时,要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再利用规则图形的面积公式列出方程求解,进而对方程的根进行取舍.
市场经济与其它问题
【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤.第一个月以单价80元销售,售出了200件;
第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;
第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元.
(1)填表(不需要化简)
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元)
80
40
销售量(件)
200
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?
(1)由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80-x),销售量为(200+10x)件,清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量,即800-200-(200+10x);
(2)销售额-成本=利润,由“获利9000元”建立方程进行求解.
(1)80-x,200+10x,800-200-(200+10x);
(2)根据题意,得80×
200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×
800=9000.
整理,得x2-20x+100=0,解这个方程得x1=x2=10,当x=10时,80-x=70>50.
答:
第二个月的单价应是70元.
【小结】市场经济问题(纳税、利息、分期付款、销售利润),匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注,解答这问题时,不论背景如何变化,一定要抓住“关键词语”寻找等量关系,并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍.
【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现:
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“十一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存.经市场调查发现:
如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少?
【分析】每件的利润是40-x元,因每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件.则件数为件,抓住总利润列出方程进行求解.
【解】设每件童装应降价x元,则,解得.因为要尽快减少库存,所以x=20.
每件童装应降价20元.
【小结】本题主要的数量关系是:
销售利润=每件利润×
件数,理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键.
三、二次函数及其图象解题技巧
抛物线的平移问题
抛物线的平移问题,可以首先研究其顶点的平移问题,因此,一般要将其解析式转化为顶点式.
【例1】把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y=x2-
2x-3,则b、c的值为(
A.b=2,c=2
B.b=2,c=0
C.b=-2,c=-1
D.b=-3,c=2
【分析】
y=x2-2x-3=
(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4,这个函数图象的顶点坐标为(1,-4),故原抛物线的顶点坐标为(-1,-1).
验证:
(-1,-1)(1,-4).
∴y=x2+bx+c可化为y=(x+1)2-1.
即y=x2+2x.
∴b=2,c=0.
【答案】B
抛物线的旋转和轴对称变换
将抛物线绕顶点旋转180°
,开口方向发生改变,顶点的坐标不变;
抛物线的轴对称变换问题,也是从顶点的轴对称变换开始切入.
【例2】将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°
,所得抛物线的解析式是(
A.y=-2x2-12x+16
B.y=-2x2+12x-16
C.y=-2x2+12x-19
D.y=-2x2+12x-20
【分析】将y=2x2-12x+16化为顶点式,得y=2(x-3)2-2.∴该抛物线的顶点坐标为(3,-2),将该抛物线绕顶点旋转180°
后,顶点仍然是(3,-2),解析式中二次项的系数变为-2,所以所得抛物线的解析式为y=
-2(x-3)2-2,即y=-2x2+12x-20.
【答案】D
抛物线的对称性(重点)
【例3】