最新高中数学解题技巧数列放缩优秀名师资料Word文档下载推荐.docx
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（1）
14411222,2n4n4n,12n,12n,1
r,1
r
Cn
（2）
1211
2
CCn（n,1）n（n,1）n（n,1）n（n,1）
1n,1
（3）T
1n!
11111r,（r2）r
r!
（n,r）!
nr!
r（r,1）r,1rn
（4）（1,1）n1,1,1,1,,
213215
n（n,1）2
n,2,nn,2
2n,12n,32
11
n,1
（2n,1）2（2n,3）2n
（5）
111
n,n
2（2,1）2,12
（6）
211（7）2（n,1,n）12（n,n,1）（8）
n
（9）
11111111,,,
k（n,1,k）n,1,kkn,1n（n,1,k）k,1nn,1,k
n11,
（n,1）!
n!
（10）（11）
1n
（2n,1,n,1）
222n,1,2n,1
n,
211,n,22
（11）（12）
2n2n2n2n,111n,1,n（n2）n2nnnnnn,1
（2,1）（2,1）（2,1）（2,1）（2,2）（2,1）（2,1）2,12,11n
3
1nn
1111,
n（n,1）（n,1）n（n,1）（n,1）n,1,n,1
n,1
1,1,n,1
n,12n
,1,1
（13）（14）
2n12n
22（3,1）233（2,1）22,1n
32,13
k,211,
k!
（k,1）!
（k,2）!
（k,1）!
（k,2）!
（15）
n,n,1（n2）n（n,1）i,j
22
（15）i,1,j,1
i2,j2
（i,j）（i,1,
i,j
j,1）
i,1,
j,1
例2.
（1）求证:
1,1,1,,
5171
（n2）2
62（2n,1）（2n,1）
（2）求证:
1,1,1,,11,12
16
36
4n
（3）求证:
1,13,135,,135（2n,1）2n,1,1
24
246
2462n
（4）求证:
2（n,1,1）1,1,1,,12（2n,1,1）
解析:
（1）因为
11111,所以,2
（2n,1）（2n,1）22n,12n,1（2n,1）
（2i,1）
i1
1111111,（,）1,（,）
232n,1232n,1
（2）1,1,1,,11（1,1,,1）1（1,1,1）
222
（3）先运用分式放缩法证明出135（2n,1）
1,再结合
1,2
n,2,n
进行裂项,最后就可以
得到答案（4）首先
12（,1,）
2n,1,,所以容易经过裂项得到
2（n,1,1）1,
12
13
,
而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
再证
（2n,1,2n,1）
22n,1,n,1
211
n,22
1,
1,,
2（2n,1,1）
例3.求证:
6n1115
1,,,,2
（n,1）（2n,1）49n3
11
22,14n,12n,12n,1n2,41
一方面:
因为,所以
k
k1
112511
1,2,,,,1,
2n,12n,13335
另一方面:
1,1,1,,11,1,1,,
9
23
3411n
n（n,1）n,1n,1
当n3时,
当n2时,
6n111n6n,当n1时,1,,,,2
（n,1）（2n,1）49nn,1（n,1）（2n,1）
6n111
1,,,,2,所以综上有
（n,1）（2n,1）49n
6n11151,,,,2
例4.（2008年全国一卷）设函数f（x）x,xlnx.数列an满足0a11.an,1f（an）.设b（a1，1），整数
k?
a1,b.证明:
ab.k,1
a1lnb
由数学归纳法可以证明an是递增数列,故存在正整数mk,使
amb,则
ak,1akb,否则若amb（mk）,则由0a1amb1知
amlnama1lnama1lnb0,a
k,1
ak,aklnaka1,amlnam,因为amlnamk（a1lnb）,
m1
kk
于是ak,1a1,k|a1lnb|a1,（b,a1）b
例5.已知n,mN,,x,1,Sm1m,2m,3m,,nm,求证:
nm,1（m,1）Sn（n,1）m,1,1.
首先可以证明:
（1,x）n1,nx
nm,1nm,1,（n,1）m,1,（n,1）m,1,（n,2）m,1,,1m,1,0n[km,1,（k,1）m,1]所以要证
nm,1（m,1）Sn（n,1）m,1,1只要证:
[km,1,（k,1）m,1]（m,1）km（n,1）m,1,1（n,1）m,1,nm,1,nm,1,（n,1）m,1,,2m,1,1m,1[（k,1）m,1,km,1]
nnn
故只要证
[km,1,（k,1）m,1]（m,1）km[（k,1）m,1,km,1],即等价于
km,1,（k,1）m,1（m,1）km（k,1）m,1,km,即等价于1,m,1（1,1）m,1,1,m,1（1,1）m,1
kkkk
而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知an4n,2n,T
2n
a1,a2,,an
求证:
T,T,T,,T3.
123n
解
析:
T41,42,43,,4n,（21,22,,2n）4（1,4）,2（1,2）4（4n
1）,2（1,2n）
1,41,23
所以
2n2n32n32n
Tnn,1n,1n,1n,1n2
n44424,32,222
（2）,32n,1（4,1）,2（1,2n）,,2,2n,1,,
2n,133333
32n311,2（22,1）（2,1）22,12,1
1111从而T,T,T,,T3,1,,,,,n123n
7
2,1
12
例7.已知x11,xn（n2k,1,kZ）,求证:
n,1（n2k,kZ）证明:
,,2（,1,1）（nN*）
xxx2x3x4x52n2n,1
1n
21x2nx2n,1
（2n,1）（2n,1）
4n2,1
22n
因为
4n2
2,,1,所以
x2nx2n,1
n,n,1
（n,1,n）
二、函数放缩
例8.求证:
ln2,ln3,ln4,,ln33n,5n,6（nN*）.
6
先构造函数有lnxx,1lnx1,1,从而
ln2,ln3,ln4,,ln3n
x
2343
1113n,1,（,,,n）233
因为1,1,,
3111111111111
,,,,,,,,n,n,,nn32,132345
67892
3n,1533993n,15n
,,,,,,23n,13n66691827
所以ln2,ln3,ln4,,ln33n,1,5n3n,5n,6
例9.求证:
ln2ln3lnn2n,n,1
构造函数后即可证明
例12.求证:
（1,12）（1,23）[1,n（n,1）]e2n,3
ln[n（n,1）,1]2,
叠加之后就可以得到答案3
n（n,1）,1
例13.证明:
ln2,ln3,ln4,,
5lnnn（n,1）
（nN*,n1）n,14
构造函数f（x）ln（x,1）,（x,1）,1（x1）,求导,可以得到:
f'
（x）
12,x,令,1
x,1x,1
（x）0有1x2,令f'
（x）0有x2,
所以f（x）f
（2）0,所以ln（x,1）x,2,令xn2,1有,lnn2n2,1
所以lnn
所以ln2,ln3,ln4,,
5lnnn（n,1）（nN*,n1）n,14
例14.已知a
1,an,1（1,
11证明ae2.n）an,n.
n,n2
an,1（1,
然后两边取自然对数,可以得到111111lnan,1ln（1
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