图形学第四篇图形变换文档格式.docx

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（3）两个向量的叉乘运算

（4）向量的长度

二、矩阵及矩阵运算

由

个数

排成矩形表：

或简记成

或

，称为一个

行

列的矩阵，简称

矩阵，

叫做第

行第

列元素。

当

时，

叫做

阶方针，此时元素

称为主对角线元素。

只有一行的矩阵

称为行向量，只有一列的矩阵

称为列向量。

有关矩阵的运算有

（1）数乘矩阵

用标量

乘

的每一个元素而得的矩阵称为

与

的乘积，记为：

（2）矩阵的加法运算

设有两个

矩阵

，将它们对应元素相加而得到的矩阵称为

的和，记为

+

（3）矩阵的乘法运算

设有矩阵

，则此二矩阵相乘的积为矩阵

：

可见，只有

的列数等于

的行数的时候，

才有意义。

矩阵运算有如下基本性质

（1）数乘矩阵适合分配律和结合律

（2）矩阵加法适合结合律

（3）矩阵乘法对加法适合分配律

（4）矩阵乘法不适合交换律，因为当两个矩阵

能够相乘时，

却未必能够相乘，即使

都是方阵，

也未必相等。

在图形变换中还有用到如下的概念：

（1）零矩阵及其运算

矩阵的所有元素均为零的矩阵称为零矩阵。

一个

列的零矩阵记为

，对于任意的矩阵

都与下式成立：

（2）单位矩阵

在一个方阵中，如果其主对角线元素全是1，而其余元素都是0，则称这样的矩阵为单位矩阵，记为

。

对任意矩阵

，有下式成立：

（3）逆矩阵

对于方阵

，若存在矩阵

，使得

，则称

是可逆的，

称为

的逆，记为

（4）转置矩阵

将

的行、列互换而得到的

矩阵，称为

的转置矩阵，记为

矩阵的转置有如下的性质：

三、齐次坐标

齐次坐标表示法就是用

维的向量表示一个

维向量。

维空间中的点具有

个坐标分量

，并且是唯一的，用齐次坐标表示为

，是不唯一的。

使用齐次坐标还可以表示无穷远点，规定当

时为无穷远点。

▪4.2二维图形的几何变换

本节将讲解如何对二维图形进行几何变换，包括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换和错切变换。

1、平移变换

平移变换是将平面上的一点

沿平行于

轴的方向平移

，沿平行于

后变成点

则有

图4.2平移变换

程序的功能如下。

首先，在屏幕上显示一个默认的矩形，然后根据用户选择的不同操作对此矩形进行平移，平移操作是随着鼠标的移动而移动的。

程序步骤：

1）首先，建立一个MFC单文档工程，起名为“Ch4_2DTrans_2DTrans”。

单击Workspace中的ClassView标签，双击CCh4_2DTrans_2DTransView，在CCh4_2DTrans_2DTransView类的定义之前定义一个枚举类型，代码如下：

2）在CCh4_2DTransView类的定义中添加如下成员变量：

3）右键单击CCh4_2DTransView，选择AddMemberFunction，在弹出的对话框中，FunctionType设为void，FunctionDeclaration设为ClearScreen（），单击确定。

4）单击CCh4_2DTransView左侧的+号，双击ClearScreen函数，在ClearScreen函数中添加如下代码：

5）右键单击CCh4_2DTransView，选择AddMemberFunction，在弹出的对话框中，FunctionType设为void，FunctionDeclaration设为DrawRect（），单击确定。

6）单击CCh4_2DTransView左侧的+号，双击DrawRect函数，在DrawRect函数中添加如下代码：

7）双击构造函数CCh4_2DTransView（），在其中添加如下代码：

8）单击Workspace中的ResourceViewView标签中的Menu左边的“+”号，双击其子项：

IDR_MAINFRAME。

9）建立名称为【二维图形变换】的菜单，并建立【平移】子菜单。

ID号设为：

IDT_TRANSLATE。

如图

10）右键单击【平移】子菜单，选择ClassWizzard选项。

在弹出的对话框中选择：

ObjectIDs：

IDT_TRANSLATE,Classname：

CCh4_2DTransView，Messages：

COMMAND，单击AddFunction按钮，在弹出的为函数命名的对话框中单击OK，单击EditCode按钮。

11）在函数OnTranslate（）中添加代码：

12）按组合键Ctrl+W，调出ClassWizzard对话框，选择ObjectIDs：

CCh4_2DTransView，Classname：

CCh4_2DTransView，在Messages列表中双击WM_LBUTTONDOWN,WM_LBUTTONUP,WM_MOUSEMOVE,WM_RBUTTONDOWN,WM_RBUTTONUP,单击EditCode按钮。

13）分别在OnLButtonDown（UINTnFlags,CPointpoint）、OnLButtonUp（UINTnFlags,CPointpoint）、OnMouseMove（UINTnFlags,CPointpoint）、OnRButtonDown（UINTnFlags,CPointpoint）、OnRButtonUp（UINTnFlags,CPointpoint）函数中添加如下代码（黑体部分是添加的代码）：

voidCCh4_2DTrans_TranslateView:

:

OnLButtonUp（UINTnFlags,CPointpoint）

{

//TODO:

Addyourmessagehandlercodehereand/orcalldefault

m_bLBDown=FALSE;

m_prevPoint=point;

CView:

OnLButtonUp（nFlags,point）;

}

OnRButtonDown（UINTnFlags,CPointpoint）

m_bRBDown=TRUE;

OnRButtonDown（nFlags,point）;

OnRButtonUp（UINTnFlags,CPointpoint）

m_bRBDown=FALSE;

OnRButtonUp（nFlags,point）;

OnMouseMove（UINTnFlags,CPointpoint）

Intdelta;

switch（m_type_transform）

{

caseTRF_TRANSLATE:

if（m_bLBDown）

{

ClearScreen（）;

delta=point.x-m_prevPoint.x;

m_prevPoint=point;

m_LT+=CPoint（delta*（int）m_xStep,0）;

m_LB+=CPoint（delta*（int）m_xStep,0）;

m_RT+=CPoint（delta*（int）m_xStep,0）;

m_RB+=CPoint（delta*（int）m_xStep,0）;

DrawRect（）;

}

if（m_bRBDown）

delta=point.y-m_prevPoint.y;

m_LT+=CPoint（0,delta*（int）m_yStep）;

m_LB+=CPoint（0,delta*（int）m_yStep）;

m_RT+=CPoint（0,delta*（int）m_yStep）;

m_RB+=CPoint（0,delta*（int）m_yStep）;

break;

caseTRF_NONE:

}

OnMouseMove（nFlags,point）;

至此，代码部分结束。

编译，运行，点击菜单项中的【平移】命令，出现如图所示矩形。

图4.3平移代码运行结果

图中的矩形可以用鼠标进行平移，具体来说，鼠标的左键控制矩形左右平移，用鼠标右键控制矩形上下平移。

2、比例变换

比例变换是相对于原点，将平面上一点

沿

轴方向乘以常数

，沿

后，变成点

，则有

可见，如果

，则为恒等变换，图形不变，如果

，则图形被放大了，如果

则图形被缩小了。

如果

，则图形在

轴和

轴方向被缩放的倍数不一样。

为了实现上述的功能，我们在前面代码的基础上继续添加代码。

要求，可以令矩形根据用户输入的参数而放大和缩小。

1）在枚举类型Type_Transform添加TRF_SCALE

2）单击Workspace中的ResourceView标签中的Menu左边的“+”号，双击其子项：

3）在【二维图形变换】菜单的子