高二文科数学函数及导数试题及答案文档格式.docx

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命题乙：

f（x）在（a，b）内是单调递增的．则甲是乙的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）

A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）

7.函数f（x）＝x3－3x（|x|<

1）（　　）

A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值

8.已知f′（x）是f（x）的导函数，f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（　　）

9.已知f（x）＝x2＋2xf′（2014）＋2014lnx，则f′（2014）＝（　　）

A．2015　　　B．－2015C．2014D．－2014

10.若函数f（x）＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是（　　）

A．B．C．（－∞，0]D．

11.已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为（　　）

A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3

12.函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）>

2，则f（x）>

2x＋4的解集为（　　）

A．（－1,1）B．（－1，＋∞）C．（－∞，－1）D．（－∞，＋∞）

二、填空题（共4小题,每小题5.0分,共20分）

13.已知函数f（x）＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

14.函数f（x）＝ex（sinx＋cosx）在区间上的值域为________．

15.如果函数f（x）＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．

16.已知f（x）＝x3＋x2f′

（1）＋3xf′（－1），则f′

（1）＋f′（－1）的值为________．

三、解答题（共6小题,共70分）

17.（满分10分）

（1）求过曲线y＝sinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．

（2）已知点P（－1,1），点Q（2,4）是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

18.（满分12分）设函数f（x）＝ax－，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：

曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

19.（满分12分）已知函数f（x）＝x2＋lnx.

（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大、最小值；

（2）求证：

在区间[1，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）＝x3的图象的下方．

20.（满分12分）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）<

0的解集是（0,5），且f（x）在区间[－1,4]上的最大值是12.

（2）是否存在自然数m，使得方程f（x）＋＝0在区间（m，m＋1）内有且只有两个不等的实数根？

若存在，求出所有m的值；

若不存在，请说明理由．

21.（满分12分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：

元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

22.（满分12分）已知函数f（x）＝x2－alnx在（1,2]上是增函数，g（x）＝x－a在（0,1]上为减函数．

（1）求f（x），g（x）的表达式；

当x>

0时，方程f（x）＝g（x）＋2有唯一解；

（3）当b>

－1时，若f（x）≥2bx－在x∈（0,1]内恒成立，求b的取值范围．

答案解析

1.【答案】A

【解析】若lgx>

lgy成立，则>

一定成立；

而当>

成立时，例如x＝1，y＝0，此时lgx>

lgy不成立．

2.【答案】C

【解析】“∀x∈[0，＋∞），x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞），x＋x0<

0”，

3.【答案】C

【解析】因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.

则⇒4x2－4x－m＝0.①

设此直线与抛物线相切有Δ＝0，

即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.

将m＝－1代入①式，x＝，y＝1，

所求点的坐标为.

4.【答案】B

【解析】∵＝－1，

∴＝－1，

∴f′

（1）＝－1.

5.【答案】A

【解析】f（x）＝x3在（－1,1）内是单调递增的，但f′（x）＝3x2≥0（－1<

x<

1），故甲是乙的充分不必要条件，选A.

6.【答案】D

【解析】∵y＝，∴y′＝.

令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>

1，

∴y′＝＝－.

再令＝m，则0<

m<

∴y′＝4m2－4m＝4（m－）2－1，m∈（0,1）．

容易求得－1≤y′<

0，∴－1≤tanα<

0，得π≤α<

π.

7.【答案】D

【解析】f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x∈（－1,1）时，f′（x）<

0，所以f（x）在（－1,1）上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.

8.【答案】D

【解析】从f′（x）的图象可以看出，在区间内，导数递增；

在区间内，导数递减．即函数f（x）的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．

9.【答案】B

【解析】f′（x）＝x＋2f′（2014）＋，所以f′（2014）＝2014＋2f′（2014）＋，即f′（2014）＝－（2014＋1）＝－2015.

10.【答案】D

【解析】当x≤0时，f′（x）＝6x2＋6x，易知函数f（x）在（－∞，0]上的极大值点是x＝－1，且f（－1）＝2，故只要在（0,2]上，eax≤2即可，即ax≤ln2在（0,2]上恒成立，即a≤在（0,2]上恒成立，故a≤ln2.

11.【答案】A

【解析】设f（x）＝＋lnx，则f′（x）＝＋＝.当x∈时，f′（x）<

0，

故函数f（x）在上单调递减；

当x∈（1,2]时，f′（x）>

0，故函数f（x）在（1,2]上单调递增，

∴f（x）min＝f

（1）＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.

12.【答案】B

【解析】设m（x）＝f（x）－（2x＋4），则m′（x）＝f′（x）－2>

0，∴m（x）在R上是增函数．

∵m（－1）＝f（－1）－（－2＋4）＝0，

∴m（x）>

0的解集为{x|x>

－1}，即f（x）>

2x＋4的解集为（－1，＋∞）．

13.【答案】

（－∞，2ln2－2]

【解析】函数f（x）＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g（x）＝2x－ex，y＝a有交点，而g′（x）＝2－ex，易知函数g（x）＝2x－ex在（－∞，ln2）上递增，在（ln2，＋∞）上递减，因而g（x）＝2x－ex的值域为（－∞，2ln2－2]，所以要使函数g（x）＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．

14.【答案】

【解析】∵x∈，∴f′（x）＝excosx≥0，

∴f（0）≤f（x）≤f，即≤f（x）≤e.

15.【答案】1≤k<

【解析】显然函数f（x）的定义域为（0，＋∞），y′＝4x－＝.

由y′>

0，得函数f（x）的单调递增区间为；

由y′<

0，得函数f（x）的单调递减区间为，

由于函数在区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，

所以解得1≤k<

.

16.【答案】－

【解析】∵f′（x）＝3x2＋2f′

（1）x＋3f′（－1），

∴

由①②得f′（－1）＝－，f′

（1）＝.

∴f′（－1）＋f′

（1）＝－.

17.【答案】

（1）2x＋y－－＝0.

（2）4x－4y－1＝0

【解析】

（1）∵y＝sinx，∴y′＝cosx，

曲线在点P处的切线斜率是：

y′|x＝＝cos＝.

∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，

故所求的直线方程为y－＝－，

即2x＋y－－＝0.

（2）∵y′＝（x2）′＝2x，设切点为M（x0，y0），

则y′|x＝x0＝2x0，

又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，

∴k＝2x0＝1，即x0＝，

所以切点为M.

∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.

18.【答案】

（1）由7x－4y－12＝0得y＝x－3.

当x＝2时，y＝，∴f

（2）＝，①

又f′（x）＝a＋，∴f′

（2）＝，②

由①，②得解之得.

故f（x）＝x－.

（2）证明　设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y′＝1＋知

曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为

y－y0＝（1＋）（x－x0），

即y－（x0－）＝（1＋）（x－x0）．

令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（0，－）．

令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.

故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

19.

【答案】

（1）　由f（x）＝x2＋lnx得f′（x）＝′＝x＋，在[1，e]上，f′（x）>

所以函数f（x）是增函数．

所以f（x）max＝f（e）＝e2＋1；

f（x）min＝f

（1）＝.

（2）证明　设F（x）＝f（x）－g（x）＝x2＋lnx－x3，

则F′（x）＝x＋－2x2＝，

因为x>

1，所以F′（x）<

0.

所以函数F（x）在[1，＋∞）上是减函数．

又F

（1）＝－，

所以在[1，＋∞）上，有F（x）<

0，即f（x）<

g（x）．

所以在区间[1，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）＝x3的图象的下方．

20.【答案】

（1）f（x）＝2x2－10x（x∈R）．

（2）存在唯一的自然数m＝3，使得方程f（x）＋＝0在区间（m，m＋1）内有且只有两个不等的实数根

（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）<

0的解集是（0,5），

∴可设f（x）＝ax（x－5）（a>

0）．

∴f（x）在区间[－1,4]上的最大值是f（－1）＝6a.

由已知，得6a＝12，∴a＝2，

∴f（x）＝2x（x－5）＝2x2－10x（x∈R）．

（2）方程f（x）＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0

设h（x）＝2x3－10x2＋37，

则h′（x）＝6x2－20x＝2x（3x－1