由未知量的个数等于n–r．
22．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后
则当= -1时，方程组有无穷多解.
23．设，则函数的图形关于 y轴 对称．
24．函数的驻点是x=1．
25．若，则．
26．设矩阵，I为单位矩阵，则＝．
27．齐次线性方程组的系数矩阵为则
此方程组的一般解为，，．
三、微积分计算题
1．已知，求．
解：
由导数运算法则和复合函数求导法则得
2．设，求．
解；
3．设，求．
解：
由导数运算法则和复合函数求导法则得
4．设y，求．
解因为y
所以
5．设，求．
解：
由导数运算法则和复合函数求导法则得
6．已知，求．
解：
因为
所以=
7．设,求.
解：
因为
所以
8．设，求.
解：
因为=
所以==0
9．设，求．
解：
因为
所以
10．计算积分．
解：
线性代数计算题
1．设，求.
解：
因为=
所以==0
2．设，求．
解：
因为
所以
3．．
解：
=
=
4．
解：
=
==
5．设矩阵，，，计算．
解：
因为=
==
且=
所以=2
6．设矩阵，求．
解：
因为
即
所以
7．求线性方程组的一般解．
解：
因为系数矩阵
所以一般解为（其中，是自由未知量）
8．当取何值时，线性方程组有解？
并求一般解．
解因为增广矩阵
所以，当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量〕
9．设矩阵，求解矩阵方程
解：
因为
即
所以，X===
10．讨论当a，b为何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解.
解：
因为
所以当且时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；
当且时，方程组有无穷多解.
四、应用题
1．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数；
（2）产量为多少吨时利润最大？
解
（1）成本函数=60+2000．
因为，即，
所以收入函数==（）=．
（2）因为利润函数=-
=-（60+2000）=40--2000
且=（40--2000=40-0.2
令=0，即40-0.2=0，得=200，它是在其定义域内的唯一驻点．所以，=200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．
2．设生产某产品的总成本函数为（万元），其中为产量，单位：
百吨．销售百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：
⑴利润最大时的产量；
⑵在利润最大时的产量的基础上再生产百吨，利润会发生什么变化？
解：
⑴因为边际成本为，边际利润
令，得可以验证为利润函数的最大值点.因此，当产量为百吨时利润最大.
⑵当产量由百吨增加至百吨时，利润改变量为
（万元）
即利润将减少1万元.
3．设生产某种产品个单位时的成本函数为：
（万元）,求：
⑴当时的总成本和平均成本；⑵当产量为多少时，平均成本最小？
解：
⑴因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
，
所以，
，
⑵
令，得（舍去），可以验证是的最小值点，所以当时，平均成本最小．
4．生产某产品的边际成本为（万元/百台），边际收入为（万元/百台），其中为产量，问产量为多少时，利润最大？
从利润最大时的产量再生产百台，利润有什么变化？
解：
令得（百台），可以验证是是的最大值点，即当产量为台时，利润最大．
即从利润最大时的产量再生产百台，利润将减少万元
5．已知某产品的边际成本（万元/百台），为产量（百台），固定成本为18（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．
解：
（1）
平均成本函数
，令，解得唯一驻点（百台）
因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为600台时，可使平均成本达到最低。
（2）最低平均成本为（万元/百台）
6．生产某产品的边际成本为（万元/百台），边际收入为（万元/百台），其中x为产量，问
（1）产量为多少时，利润最大？
（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
（较难）（熟练掌握）
解
（1）
令得（百台）
又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大．
（2）
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元．
7.．生产某产品的边际成本为（q）=8q（万元/百台），边际收入为（q）=100-2q（万元/百台），其中q为产量，问产量为多少时，利润最大？
从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解：
（q）=（q）-（q）=（100–2q）–8q=100–10q
令（q）=0，得q=10（百台）
又q=10是L（q）的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故q=10是L（q）的最大值点，
即当产量为10（百台）时，利润最大.
又
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
应用题
8．某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？
此时，每件产品平均成本为多少？
解：
因为==（）
==
令=0，即=0，得=140，=-140（舍去）.
=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件.
此时的平均成本为
==176（元/件）
9．已知某产品的销售价格（单位：
元／件）是销量（单位：
件）的函数，而总成本为（单位：
元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？
最大利润是多少？
解：
由已知条件可得收入函数
利润函数
求导得
令得，它是唯一的极大值点，因此是最大值点．
此时最大利润为
即产量为300件时利润最大．最大利润是43500元．
10．生产某产品的边际成本为（万元/百台），边际收入为（万元/百台），其中x为产量，若固定成本为10万元，问
（1）产量为多少时，利润最大？
（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解
（1）边际利润
令，得（百台）
又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。
（2）利润的变化
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。
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