整式乘除与因式分解竞赛Word文件下载.docx

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5．如果x4﹣x3+kx2﹣2kx﹣2能分解为两个整系数的二次因式，试求k的值．

6．已知x2﹣xy﹣2y2+mx+7y﹣3能够分解成两个整系数的一次因式的乘积，求m的值．

7．对x5﹣1进行因式分解

8．观察下列式子的因式分解做法：

x3﹣1＝x3﹣x+x﹣1＝x（x2﹣1）+x﹣1＝x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）＝（x﹣1）[x（x+1）+1]＝（x﹣1）（x2+x+1）

x4﹣1＝x4﹣x+x﹣1＝x（x3﹣1）+x﹣1＝x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）＝（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）

…

（1）模仿以上做法，尝试；

x5﹣1

（2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　　；

（n为正整数，直接写结果，不用验证）

（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．

9．①（x﹣1）（　　）＝x6﹣1；

②（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝　　；

③1+4+42+43+…+42013＝　　．

10．设多项式2x2+5x+3的一个因式为x+a，另一个因式为2x+b

则（x+a）（2x+b）＝2x2+5x+3

则2x2+（2a+b）x+ab＝2x2+5x+3

则ab＝3①，2a+b＝5②

若a，b都取整数，由①知有a＝1，b＝3；

a＝﹣1．b＝﹣3；

a＝3，b＝1；

a＝﹣3，b＝﹣1

只有a＝1，b＝3满足②

则多项式2x2+5x+3分解因式为（x+1）（2x+3）

仿照以上

（1）的解题过程，分解因式3x2﹣5x﹣2．

11．分解因式

12．分解因式

13．试证明：

（1）是的因式。

（2）是的因式。

（是正整数）

14．设，试问下列何者是f（x）的因式？

（1）2x–1，

（2）x–2，（3）3x–1，（4）4x＋1，（5）x–1，（6）3x–4

15．把下列多项式分解因式：

（1）

（2）

（3）　（4）

（5）

16．因式分解

二、拆项、添向和换元

1．把下列多项式因式分解．

（1）x4+64

（2）x4+x2y2+y4

2．分解因式：

x3-9x+8．

3．

x4+4y

4．分解因式：

（1）

（2）

（3）（4）；

5．因式分解（x+1）4+（x+3）4﹣272＝　　．

6．因式分解：

16（6x﹣1）（2x﹣1）（3x+1）（x﹣1）+25＝　　．

7．你会对多项式（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12分解因式吗？

对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．

对于（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12．

解法一：

设x2+5x＝y，

则原式＝（y+2）（y+3）﹣12＝y2+5y﹣6＝（y+6）（y﹣1）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．

解法二：

设x2+5x+2＝y，

则原式＝y（y+1）﹣12＝y2+y﹣12＝（y+4）（y﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．

解法三：

设x2+2＝m，5x＝n，

则原式＝（m+n）（m+n+1）﹣12＝（m+n）2+（m+n）﹣12＝（m+n+4）（m+n﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．

按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：

（1）（x2+x﹣4）（x2+x+3）+10；

（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2；

（3）（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2．

8．因式分解m（n+1）（n+2）（n+3）+1＝　　．

9．证明：

四个连续的正整数的乘积加上1是一个完全平方数．

三、分式的恒等变形

1．解方程：

．

2．已知，求下列各式子的值：

①②

3．若a、b、c均为非零常数，且满足，且，且，求x的值。

4．已知，求

5．已知三个正数a、b、c满足abc=1，求的值

6．已知，试求分式的值。

7．已知三个不全为零的数x、y、z满足，，求的值。

四、对称式和轮换对称式

一、定义

●在含有多个变量的代数式f（x,y,z）中，如果变量x,　y,　z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为对称式.

例如：

　x+y，　xy，　

x+y+z，　xyz

；

x3+y3+z3－3xyz,　　x5+y5+xy,　；

.　都是对称式.

●在含有多个变量的代数式f（x,y,z）中，如果变量x,　y,　z循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式。

显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.

1．分解因式

2．分解因式。

3．设实数a，b，c满足a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，则（　　）

A．0B．3C．6D．9

4．已知abc≠0，且a+b+c＝0，则代数式的值为　　．

5．设a、b、c均为非零实数，且ab＝2（a+b），bc＝3（b+c），ca＝4（c+a），则a+b+c＝　　．

6．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：

、、，则xyz＝　　．

7．已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝2，求|a|+|b|+|c|的最小值．

8．已知a，b，c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

9．已知a+b+c＝0，4，求的值．

10．不等于0的三个数a、b、c满足，求证：

a、b、c中至少有两个互为相反数．

11．已知，，，求的值．

12．已知a、b、c满足1，则的值为多少？

五、不定方程

如果一个方程（组）中，未知数的个数多与方程的个数，那么把这种方程（组）叫不定方程（组）。

不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解。

若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在。

1．如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（　　）

A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米

2．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；

购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需（　　）

A．4.5元B．5元C．6元D．6.5元

3．某次足球比赛的计分规则是：

胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（　　）

A．15种B．11种C．5种D．3种

4．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有　　种购买方案．

5．正整数m、n满足8m+9n＝mn+6，则m的最大值为　　．

6．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：

第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对l题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是　　．

7．陈老师给42名学生每人买了一件纪念品，其中有：

每支12元的钢笔，每把4元的圆规，每册16元的词典，共用了216元，则陈老师买了钢笔　　支，词典　　册．

8．中国百鸡问题：

鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

9．一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？

10．某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？

11．将一个三位数的中间数码去掉，成为一个两个数，且满足94（如155＝9×

15+4×

5）．试求出所有这样的三位数．

12．小王坐车在一条公路上向同一个方向匀速行驶，他先看到路边一个里程碑上的数是两位数，1小时后他又看到另一个里程碑，上面的数恰好是上次看到的十位数字和个位数字交换位置所成的数，又过1小时，他看到第三个里程碑，上面的数恰好是第一次看到的两位数中间添一个0所成的数．设小王第一次看到的里程碑上的两位数的个位数字是x，十位数字是y，

（1）用x、y表示这三个里程碑上的数；

（2）求这三个里程碑上的数之和．